浙江省宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-11 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. 已知集合 $A = \{2, 3, 6, 8\}$ ， $B = \{x | - 1 \leq x < 6, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2, 3}$ B、 ${2, 3, 6, 8}$ C、 ${2, 3, 4, 5}$ D、 ${2, 3, 6}$

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2. 命题“ $\forall x > - 1$ ， $x^{3} + 2 x^{2} - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq - 1$ ， $x^{3} + 2 x^{2} - 1 > 0$ B、 $\exists x > - 1$ ， $x^{3} + 2 x^{2} - 1 \leq 0$ C、 $\forall x \leq - 1$ ， $x^{3} + 2 x^{2} - 1 > 0$ D、 $\forall x > - 1$ ， $x^{3} + 2 x^{2} - 1 \leq 0$

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3. “ $π^{a} > π^{b}$ ”是“a > b > 0”的一个（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 不等式 $\frac{4}{x + 1} \geq 1$ 的解集是（）

A、{ $x ∣ x \leq 3$ 且 $x \neq - 1$ } B、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{x ∣ x \leq 3\}$ D、 ${x ∣ - 1 < x \leq 3}$

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5. 设 $a = {0.7}^{0.6}$ ， $b = {0.3}^{- 0.9}$ ， $c = {0.9}^{0.6}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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6. 函数 $y = x |x|$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2025 x$ ，若对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [2, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > 3 a x_{1} x_{2} (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{12}, 0]$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{12}]$ D、 $[- \frac{1}{12}, + \infty)$

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8. 已知关于 $x$ 的方程 $|\frac{4}{|x| - k} + 1| = k$ 恰有两个不同的解，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{17} - 1}{2})$ B、 $(1, \frac{\sqrt{17} + 1}{2})$ C、 $(2, \frac{\sqrt{17} + 1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{17} + 1}{2}, 4)$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分，错选得0分）

9. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ 为奇函数 B、 $f (x) = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$ 与 $g (x) = x$ 表示同一函数 C、已知函数 $f (x) = 2^{\sqrt{x + 2}}$ ，则 $f (2^{x} - 3)$ 的定义域为 $[0, + \infty)$ D、函数 $f (x) = 4 x - \sqrt{x}$ 的值域为 $[- \frac{1}{16}, + \infty)$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、若 $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为8 D、若 $a + b = 1$ 则 $\frac{3 a}{a^{2} + b} + \frac{3 b}{a + b^{2}}$ 的最大值为4

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11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正切函数 $th (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，且当 $x > 0$ 时有 $th (x) < x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 ${[sh (x)]}^{2} - {[ch (x)]}^{2} = - 1$ B、函数 $g (x) = ch (2 x) - ch (x)$ 的最小值是0 C、若对任意实数 $x$ ，不等式 $th (a x^{2}) + th (4 - 2 x) > 0$ 恒成立，则 $a > \frac{1}{3}$ D、 $f (x) = (x - 1) [sh (x) + ch (x)]$ ，则 $f (\frac{1}{e}) > f (- \frac{1}{e})$

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三、填空题（本大题共3小题，共15分）

12. ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}} - π^{0} =$ .

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13. 设 $x$ ， $y \in R$ 且满足 $\{\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2025} + 2025 x = 2024 \\ {(y - 1)}^{2025} + 2025 y = 2026 \end{array}$ ，则 $x + y =$ .

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14. 已知集合 $A = [t, t + 2] \cup [t + 4, t + 8]$ ，其中 $t > 0$ .若存在正数 $λ$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{λ}{a} \in A$ ，则 $t$ 的取值集合为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. 设集合 $A = \{x |x^{2} - 8 x + 12 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} - 13 = 0\}$ .

(1)、若 $A \cap B = \{2\}$ ，求 $a$ 的值及集合 $A, B$ ；

(2)、若 $R$ 为实数集，且 $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知幂函数 $f (x) = x^{- 3 n^{2} + 9} (n \in N)$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = \sqrt[3]{f (x)} + 2 t x + 3$ ；
（i）若 $x \in R$ ，试讨论 $|g (x)|$ 的最小值；
（ii）若函数 $y = g (x)$ 定义在区间 $[2, 6]$ 上，试求 $g (x)$ 的最小值 $G (t)$ .

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17. 某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需另外增加成本100元，公司每月生产量为 $x$ （单位：台），已知营业额 $R$ （单位：元）满足函数： $R = \{\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} - 15000, 0 \leq x \leq 200 \\ 170000 - \frac{25000000}{x}, x > 200 \end{array}$

(1)、将每月投入的总成本 $Q$ 表示为月产量 $x$ 的函数；

(2)、将每月利润 $P$ 表示为月产量 $x$ 的函数（利润=营业额-总成本）；

(3)、当月产量 $x$ 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 \times 3^{x}}{3^{x - 1} + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和值域；

(2)、判定函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(3)、若对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) - m^{2} - 5 m > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 对于定义在实数集 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，给出如下的三个定义：
①记 $f^{(1)} (x) = f (x)$ ， $f^{(2)} (x) = f (f (x))$ ， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x)))$ ， $\dots$ ， $f^{(n + 1)} (x) = f (f^{(n)} (x))$ ，其中 $n = 1, 2, 3, \dots$ .
②对任意的区间 $A \subseteq R$ ，记集合 $f^{(n)} (A) = \{f^{(n)} (x) ∣ x \in A\}$ ，并规定 $f^{(n)} (\emptyset) = \emptyset$ .
例如：若 $f (x) = x + 1$ ，则 $f^{(2)} ([1, 2]) = [3, 4]$ ；
③若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足对任意的区间 $I \subseteq R$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $f^{(k)} (I) \cap I \neq \emptyset$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

(1)、若函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ ，求 $f^{(2)} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = 4 x + 3$ ，求 $f^{(2)} ([- 1, 0])$ 并判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 0]$ 上的“2阶交汇函数”；

(3)、设 $a \in (0, 1)$ ，若 $f (x) = \{\begin{cases} x + (1 - a), x \leq a \\ x - a, x > a \end{cases}$ ，试证明对任意的区间 $I \subseteq (0, 1]$ ，总存在正整数 $k$ ，使得 $f (x)$ 为 $I$ 上的“ $k$ 阶交汇函数”.

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