天津市北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高三上学期期中数学测试卷

试卷更新日期：2025-11-15 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知全集 $U = \{x \in N^{*} |1 \leq x \leq 6\}$ ，集合 $A = \{1, 2, 3, 5\}$ ， $B = \{3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{1, 6\}$ B、 $\{2, 6\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 6\}$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 3 > 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} + \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设集合 $M = {x | - 1 < x < 3}$ ， $N = {x | \lg x \leq 0}$ ，那么“ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a = \log_{0.2} 2$ ， $b = {0.3}^{2}$ ， $c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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6. 已知球的表面积为 $144 {πcm}^{2}$ ，则该球的体积是（）cm³

A、64π B、144π C、288π D、216π

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7. 下列命题错误的是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 $1$ B、设 $ξ \sim N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ C、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ D、随机变量 $ξ \sim B (n ， p)$ ，若 $E (ξ) = 30 ， D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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8. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 22, S_{7} = S_{16}$ ，则 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、12 B、12或11 C、11或10 D、10

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9. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} (ω x) + \sin (2 ω x + \frac{2 π}{3})$ ，其中 $ω > 0$ ，其最小正周期为 $π$ ，则下列说法中错误的个数是（）
① $ω = 1$
②函数 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ 对称
③函数 $f (x)$ 图象向右移 $φ (φ > 0)$ 个单位后，图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$
④若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3} + 1$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共6小题，共30分）

10. 若复数 $\frac{a + 3 i}{1 + 2 i}$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值是.

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11. 已知二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ ，其展开式中 $x$ 项的系数为.

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12. 天津是一个历史悠久的文化古都，五大道，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为 $\frac{2}{3}$ ，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为；该游客至少游览三个景点的概率为．

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13. $x > 0$ ， $y > 0$ ，若2是 $4^{x}$ 与 $4^{y}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是.

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14. 已知 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 中点，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，记 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A M} =$ ；若 $\vec{B A} \cdot \vec{B D} = - 5$ ，向量 $\vec{A M}$ 在向量 $\vec{B D}$ 上的投影向量的模的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2 ln x}{x}, & x > 0, \\ sin (ω x + \frac{π}{6}), & - π \leq x \leq 0, \end{array}$ 若 $2 f^{2} (x) - 3 f (x) + 1 = 0$ 恰有6个不同的实数解，则正实数 $ω$ 的取值范围是.

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三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin x cos x + \sqrt{2} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ ，的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 2 a$ ，求边 $a$ 的值；

(3)、若 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $cos (2 A - B)$ 的值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ， $P D = 2$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B M$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P D M$ 和平面 $D M B$ 夹角的余弦值；

(3)、求 $A$ 点到平面 $D M B$ 的距离．

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19. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{3} =7, S_{4} =22$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $b_{1} =4$ ， $b_{3} =64$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $p_{n} = \frac{3}{2+ a_{n}}$ ，数列 $\{p_{n} p_{n +2}\}$ 的前n项和 $A_{n}$ ，求证： $A_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} m x - 1, m \in R$ .
（1）若该函数在 $x = 1$ 处的切线与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 垂直，求 $m$ 的值；
（2）若函数 $g (x) = x f (x)$ 在其定义域上有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ .
①求 $m$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ .

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