广东省清远市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-17 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．

1. 直线 $l$ 经过两点 $(4 ， - 2) ， (- 3 ， 4)$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{6}{7}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $- \frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{6}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 3) ， \vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）.

A、 $2$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $\sqrt{26}$

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3. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、1 B、－1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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5. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $A M = M B, C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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6. “ $a = - 1$ ”是“直线 $a x + 3 y + 3 = 0$ 和直线 $x + (a - 2) y + 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + m - 1 = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(0, \frac{5}{2})$ ，圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - \frac{5}{2})}^{2} = 1$ ，点 $T (t, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点.现由点 $P$ 向点 $T$ 发射一道粗细不计的光线，光线经 $x$ 轴反射后与圆 $C$ 有交点，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{15}{8}, \frac{10}{3}]$ B、 $[\frac{7}{4}, \frac{10}{3}]$ C、 $[\frac{7}{4}, \frac{27}{8}]$ D、 $[\frac{15}{8}, \frac{27}{8}]$

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二、多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法中，正确的有（）

A、直线 $3 x - y - 2 = 0$ 在y轴上的截距为-2 B、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° C、直线 $m x + y + 3 = 0$ (m∈R)必过定点(0，-3) D、点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7

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10. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$ B、若空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 C、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角 D、若空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是正方体的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（不含边界）的动点，点Q是棱 $B C$ 的中点，则以下命题正确的是（）

A、三棱锥 $Q - P C D$ 的体积是定值 B、存在点P，使得 $P Q$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $P D_{1} = P Q$ ，则P的轨迹的长度为 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 4 m^{2} - m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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13. 对于任意实数x，y，z， $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2}}$ 的最小值为.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- \sqrt{2}, \sqrt{2}), B (3 \sqrt{2}, 0)$ ，若沿直线 $l : y = x$ 把平面直角坐标系折成大小为 $θ$ 的二面角后， $|A B| = 3 \sqrt{2}$ ，则 $θ$ 的余弦值为．

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四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 求下列各圆的方程.

(1)、圆心为点 $C (8, - 3)$ ，且过点 $A (5, 1)$ ；

(2)、过 $A (- 1, 5)$ ， $B (5, 5)$ ， $C (6, - 2)$ 三点．

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16. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

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17. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, 2)$ .

(1)、求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)、求四边形ABCD的面积.

(3)、求 $△ A B C$ 边AB上的高所在直线方程.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面ABC上的投影为AC的中点D，且 $A B = 2$ ．

(1)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线DE与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ？若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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19. 已知定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M A| = 2 |M B|$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作两条互相垂直的直线 $l$ 与 $m$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，直线 $m$ 交曲线 $C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，求四边形 $E G F H$ 面积的最大值.

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