浙江省9+1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-25 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 设复数 $z$ 满足 $|z - i| = 2, z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则 $z$ 点的轨迹方程为（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ D、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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2. 已知集合 $U = R, A = {x ∣ x > 2}, B = \{x ∣ {log}_{3} x < 1\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （　　）

A、 $\{x ∣ x \leq 2\}$ B、 ${x ∣ x < 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$

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3. 若 $k \in Z$ ，则“ $α = β + 2 k π$ ”是“ $sin α = sin β$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 2), \vec{b} = (2, y, 1), \vec{c} = (4, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} // \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （　　）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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5. 过点 $P (3, 1)$ 且斜率小于0的直线与 $x$ 轴， $y$ 轴围成的封闭图形面积的最小值为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6. 已知直线 $l : y = k x$ 与椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $P, Q$ 两点，若 $|F_{1} F_{2}| = |P Q|$ （ $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆的两个焦点），则四边形 $F_{1} P F_{2} Q$ 的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点，则异面直线 $B P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的最小值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 若实数 $x, y, z$ 满足 $2^{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} = {log}_{3} z$ ，则 $x, y, z$ 的大小关系不可能是（　　）

A、 $x < y < z$ B、 $z < y < x$ C、 $y < x < z$ D、 $x < z < y$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．

9. 将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，事件 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 3\}, C = \{2, 4, 6\}$ ，则（　　）

A、 $A B$ 与 $C$ 是互斥事件 B、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 C、 $P (A + B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A B + C) = \frac{1}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = cos 3 x - cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $- 2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 上的所有零点之和为 $4 π$

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11. 底面半径为3，高为6的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱侧面相切，作不与圆柱底面平行的平面 $α$ ，与球切于点 $F$ ，若平面 $α$ 与圆柱侧面相交所得封闭曲线为 $C$ ，则下列命题正确的有（　　）

A、曲线 $C$ 的离心率最大值为 $\frac{5}{13}$ B、曲线 $C$ 的离心率最大值为 $\frac{3}{5}$ C、平面 $α$ 与底面所成夹角正弦最大值为 $\frac{5}{13}$ D、 $F$ 点到底面距离最小值为 $\frac{9}{5}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{6} = 1$ ，则双曲线的离心率是．

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13. 已知直线 $l$ 经过点 $P (3, 0)$ ，且与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 2 \sqrt{15}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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14. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ A C, A B = A C = A A_{1} = 2$ ，且 $\vec{M B} = 2 \vec{A M}, \vec{A N} = \vec{N C}$ ，过 $B$ 作平面 $α$ ，使 $α / / A_{1} M$ ， $α / / C_{1} N$ ，若 $α \cap B_{1} C_{1} = P$ ，则 $B P =$ ．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $R$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2} R^{2} sin A$ ．

(1)、求 $sin B \cdot sin C$ 的值；

(2)、若 $4 cos B cos C = 1, R = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $D$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，且 $\vec{B_{1} E} = λ \vec{B_{1} C}$ ，

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，求证： $D E / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若直线 $D E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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17. 动点 $M (x, y)$ 与定点 $(\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它到定直线 $l : x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 的距离比为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求动点 $M (x, y)$ 的轨迹方程；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，与（1）中所求点 $M (x, y)$ 的轨迹交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} \geq 4$ （其中 $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C, ∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形．

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $E - A C D$ 外接球上一点，求点 $T$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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19. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0 且 a \neq b)$ ，过 $C$ 外一点 $P$ 作 $C$ 的两条切线，斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．若满足 $k_{1} \cdot k_{2} = k (k \in R 且 k \neq 0)$ ，则称点 $P$ 的轨迹为 $C$ 的 $k$ -相关曲线．特别地，当 $k = - 1$ 时， $P$ 的轨迹为一个圆，且满足方程 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这样的圆被称作为蒙日圆．（注： $M (x_{0}, y_{0})$ 为 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ 上任一点，则 $M$ 处的切线方程： $m x_{0} x + n y_{0} y = 1$ ）．

(1)、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (0 < a < 1)$ 与其 $- 1$ -相关曲线 $C_{2}$ ，点 $P, Q$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上点，记 $d = {|P Q|}_{min}$ ，用含 $d$ 的式子表示 $a$ （直接写出结果）；

(2)、设椭圆 $C_{3} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，其 $2 -$ 相关曲线 $C_{4}$ ，求 $C_{4}$ ；

(3)、设椭圆 $C_{5} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与其 $k -$ 相关曲线 $C_{6} (a > b > 1, k > \frac{b^{2}}{a^{2}})$ ，设 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 在第一象限的交点为 $M$ ，过 $M$ 分别作 $C_{5}$ 与 $C_{6}$ 的切线 $l_{1}, l_{2}$ ，满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．设 $C_{5}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，满足 $cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值．

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