广东省广州市真光中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-18 类型：期中考试

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.

1. 下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $x = 2$ C、 $3 x + y + 4 = 0$ D、 $y = 2$

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2. 圆x²＋y²＋2x＋6y＋9＝0与圆x²＋y²－6x＋2y＋1＝0的位置关系是（）

A、相交 B、相外切 C、相离 D、相内切

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3. 四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O P} = 2 \vec{P A}$ ， $\vec{B Q} = \vec{Q C}$ ，则 $\vec{P Q}$ 等于（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 若 $A (2, 2, 1)$ ， $B (0, 0, 1)$ ， $C (2, 0, 0)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且 $|A B| = 2$ ， P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）

A、圆 B、射线 C、长轴为4的椭圆 D、长轴为2的椭圆

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6. 由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 y$ 围成的图形的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π + 3$ D、 $3 π + 2$

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7. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口 $B A C$ 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上．由椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ ．已知 $B F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|F_{1} B| = \frac{5}{3}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ．若透明窗 $D E$ 所在的直线与截口 $B A C$ 所在的椭圆交于一点 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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8. 在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (λ, μ, ω)$ 的平面的方程为 $λ (x - x_{0}) + μ (y - y_{0}) + ω (z - z_{0}) = 0$ .已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点 $P (2, 2, 0)$ 的直线l的方程为 $2 - x = \frac{y}{2} - 1 = \frac{z}{3}$ ，经过点P的平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ ，则直线l与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分

9. 已知椭圆 $C : 3 x^{2} + 4 y^{2} = 48$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上任意一点，则（）

A、C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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10. 已知直线 $l : m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 恒有两个不同的公共点 $A, B$ ，则下列叙述正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ C、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ D、当 $r = 4$ 时，圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离为2的点恰好有三个，则 $m = \frac{3}{4}$

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11. 在四面体 $A B C D$ 中（如图），平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $A D = C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， M为AB的中点，N在侧面 $B C D$ 上（包含边界），若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，（ $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ），则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则 $M N //$ 平面ACD B、当 $|M N|$ 最小时， $x = \frac{1}{4}$ C、若 $y = 0$ ，则 $M N ⊥ C D$ D、当 $|M N|$ 最大时， $x = - \frac{1}{2}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 若方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示椭圆，则 $m$ 的取值范围是．

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13. 如图，在四面体ABCD中， $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ，若 $A B = 3$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{19}$ ，则平面ABD与平面CBD的夹角为．

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14. 已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点Q为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ．以 $P Q$ 为直径的圆的圆心为点 $Q^{'}$ ，设圆Q与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 左边），则直线PA，PB的方程分别为，．

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 空间直角坐标系中，分别以 $\vec{a} = (3, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3, 1)$ 为邻边作一个平行四边形.

(1)、分别求这个平行四边形两条对角线的长；

(2)、求这个平行四边形的面积.

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16. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知点 $M (- 4, 0)$ ，点 $N (4, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足：直线PM与直线PN的斜率之积是 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与（1）中轨迹 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $Q (2, - 1)$ 为线段 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，求弦长 $| A B |$ .

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D // B C$ ， $A F // B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ .

(1)、已知点G为 $A F$ 上一点， $A G = A D$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知点F到平面 $D C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面 $F D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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18. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k$ （ $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $E (\sqrt{2} ， 0), F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，则满足 $| P F | = \sqrt{2} | P E |$ 的动点P的轨迹记为圆 $D$ .

(1)、求圆 $D$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $C (4, - 2)$ 三点，点 $P$ 在圆 $D$ 上运动，求 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2}$ 的最大值与最小值之差.

(3)、直线 $y = k (x + 1)$ 与圆 $D$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q$ ，使得 $k_{M Q} + k_{N Q} = 0$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由；

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19. 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $D$ 为棚顶， $O$ 是棚底地面的中心， $A E$ 为棚底直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $D O = 18$ 米，从支柱上的 $P$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $P A 、 P B 、 P C 、 P E$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $E$ 点沿着绳子 $P E$ 爬到 $P$ 点，再沿着 $P D$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $P A 、 P B 、 P C$ 中的某一根绳子上.

(1)、当 $P$ 点取在距离 $O$ 点 $3 \sqrt{6}$ 米处时，证明拉绳 $P A$ 所在直线和平面 $P B C$ 垂直；

(2)、经验表明当拉绳 $P E$ 所在直线和平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $P$ 点取在什么位置.

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