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相关试卷

1、复数 $z = a^{2} - b^{2} + (a + |a|) i$ ，（ $a$ ， $b \in R$ ）为实数的充要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a <0$ 且 $a = - b$ C、 $a > 0$ 且 $a \neq b$ D、 $a > 0$ 且 $a = |b|$

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其长轴长为6，离心率为e且 $e > \frac{1}{3}$ ，点D为E上一动点， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ，过 $P (- 3, 0)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线 $x = 8$ 交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线 $A B$ 的垂线，垂足为H.

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、问：平面内是否存在定点Q，使得 $|H Q|$ 为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \sin x - e^{b x}$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的最小值；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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4、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，满足 $a_{n} = 2^{n - 2}$ ， $b_{2 k - 1} = a_{k} (k \in N^{*})$ ， $b_{2 k - 1}$ ， $b_{2 k}$ ， $b_{2 k + 1}$ 成等差数列．
（1）证明： ${b_{2 k}}$ 是等比数列；
（2）数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{n + 2}{8 n (n + 1) (b_{2 n} - b_{2 n - 1})}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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5、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $A B$ 是底面圆 $O$ 的一条直径， $M$ ， $N$ 是底面圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的三等分点， $E$ ， $F$ 分别为 $P M$ ， $P O$ 的中点．

(1)、证明：点 $B$ 在平面 $E F N$ 内．

(2)、若 $A B = P O = 4$ ，求平面 $P A M$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值．

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6、已知函数 $f (x) = a \ln x - x + a$ ， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 0, \\ \frac{2 \ln x}{x}, x > 0, \end{array}$ $g (x) = x^{2} + 2 x - 4 λ$ ， $λ \in R$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (g (x)) = λ$ 有6个解，则 $λ$ 的取值范围为．

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{5} = 25$ ， $S_{15} = 60$ ，则 $a_{4} + a_{7} =$ .

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9、已知 $cos (\frac{π}{4} + x) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (\frac{5 π}{4} - x) =$ .

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10、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，直线 $l$ ： $y = - \frac{\sqrt{15}}{3} x + \frac{\sqrt{15}}{3} c$ 与双曲线 $C$ 的右支相交于A， $B$ 两点（点A在第一象限），若 $|A F_{1}| = |A B|$ ，则（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $|B F_{1}| = 8$ C、 $|A B| = \frac{34}{7}$ D、 $b = \sqrt{2}$

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11、新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为： $y = k x + t (k, t \in R)$ ，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）

A、若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分 B、若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数 C、该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同 D、该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分

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12、已知P为棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体 $A - B C D$ 各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面 $A B C$ ，面 $A C D$ ，面 $B C D$ ，面 $A B D$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ，若 $h_{3} + h_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{2 h_{1}} + \frac{8}{h_{2}}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{9 + 4 \sqrt{2}}{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{2}$

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13、某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm，卫生纸厚度约为0.1mm，若未使用时直径为80mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据 $π \approx 3.14$ ）

A、47m B、51m C、94m D、102m

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14、已知函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{2} x^{2}$ 有两个不同极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = 2 cos (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0, \frac{a}{3}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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16、若直线 $l : x + \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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17、设复数 $z = a + i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），若 $(1 + i) \cdot z$ 为纯虚数，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- i$

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18、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 8$ ， $C D = 3$ ， $A D = 6$ ， $E$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $C E = 2 E B$ ，用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{C B}$ ， $\vec{A E}$ ；

(2)、若AE与BD交于点F， $\vec{D F} = x \vec{D B} (0 < x < 1)$ ， $\cos ∠ D A B = \frac{1}{3}$ ， $|\vec{C F}| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $x$ 的值．

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19、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, D$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求该正三棱柱的体积；

(2)、求三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C$ 的体积；

(3)、设 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 为钝角三角形．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}, sin C = \frac{3 \sqrt{7}}{8}, c = 3$ ，求 $a, b$ ．

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