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相关试卷

1、下列各组函数中表示同一个函数的是（）．

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = x$ 与 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $y = \frac{|x|}{x}$ 与 $y = x^{0}$ D、 $y = \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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2、命题“ $\exists x \in R$ ， $|x| + 2 \geq 2$ ”的否定是（）．

A、 $\forall x \in R$ ， $|x| + 2 < 2$ B、 $\forall x \in R$ ， $|x| + 2 \leq 2$ C、 $\exists x \in R$ ， $|x| + 2 < 2$ D、 $\exists x \in R$ ， $|x| + 2 \leq 2$

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3、下列集合符号运用不正确的是（）．

A、 $\{0, 1\} \subseteq N$ B、 $\emptyset \subseteq \{x \in R |x^{2} + 1 = 0\}$ C、 $\sqrt{2} \in Z$ D、 $\frac{1}{3} \in Q$

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4、已知函数 $f (x) = a e^{x} + e^{- x} - (a - 1) x + 1$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - 1 = 0$ 垂直，求实数a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = - 1$ 时，若 $f (m + 1) + f (m - 2) > 2$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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5、如图，在多面体 $E G - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B E // C G$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $B E = A B = 2 C G$ ， $F$ 为 $A E$ 的中点， $M$ 为 $C D$ 的中点．

(1)、证明： $F M //$ 平面 $B C G E$ ；

(2)、求平面 $A E D$ 与平面 $E G D$ 夹角的余弦值．

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 {c o s}^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上的最大值、最小值及相应的 $x$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = x (e^{x} + a) + 2$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与直线 $x - 3 y = 0$ 垂直，则 $a =$ ．

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 是 $C$ 上第一象限内一点，则（）

A、若点 $M$ 关于原点对称的点为点 $N$ ，且 $| M N | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ B、 $C$ 的右顶点到渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $△ M F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心在直线 $x = 2$ 上 D、不存在点 $M$ ，使得点 $M$ 关于点 $(2, 1)$ 对称的点在 $C$ 上

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 4 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f^{'} (0) = - 4$ C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 单调递减 D、 $f (x)$ 有且仅有2个零点

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, - 2), \vec{b} = (1, - 3)$ ． $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $θ = 45 °$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $sin (B - A) = \frac{1}{3}$ ， $\frac{c^{2}}{2} = b^{2} - a^{2}$ ，则 $sin C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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12、设函数 $f (x) = 2 \tan (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则 $f (x)$ 的一个最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{13}$ C、 $\frac{2 π}{13}$ D、 $\frac{2 π}{7}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ， $S_{6} - S_{3} = 24$ ，则 $S_{12} - S_{9} =$ （）

A、36 B、48 C、60 D、120

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14、一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为（）

A、7.5 B、6 C、4.5 D、3

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15、已知 $|z| = |z - 2|$ ， $z$ 为虚数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的值可能为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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16、设集合 $A = \{x ∣ 2^{2 x + 1} \leq \frac{1}{32}\} ， B = \{x ∣ y = \sqrt{1 - x} + 1\} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \leq 1}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$

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17、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, B C = 3, A C = 6, D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E ∥ B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求 $C M$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的大小；

(2)、在线段 $A_{1} C$ （不包括端点）上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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18、已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、记（1）中所求轨迹为曲线 $C$ ，过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，并且 $|P Q| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, N (2, 0)$ 是椭圆的右顶点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $H (0, 1)$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A ､ B$ 两点，求 $|A B|$ 和 $△ A B N$ 的面积.

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20、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1}$ 的长为3，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $E$ 是棱 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；

(2)、求平面 $C_{1} D E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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