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相关试卷

1、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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2、下列命题中，正确的命题有（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充要条件 C、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $|\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}| = \sqrt{2}$

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3、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 和两点 $A (t, 0)$ ， $B (- t, 0) (t > 0)$ ，若圆 $C$ 上至少存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} < 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 8)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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4、如图所示，半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\vec{D M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D C}$

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7、以下说法中正确的是（）

A、两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B、两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C、单位向量都是共线向量 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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8、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 4) e^{x} - 2 x$ （e为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 1$ 时， $f (x) > 7 \ln a - a - 4$ ．

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9、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.
（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1}, e]$ 上的最大值和最小值.

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10、混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)、一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

(2)、若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $(x - 1) f (x + 1) > f (x^{2} - 1)$ 的解集是.

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12、已知曲线 $y = x e^{x}$ ，过点 $(3, 0)$ 作该曲线的两条切线，切点分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 4$ D、 $\{\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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14、用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为 $h$ ，当容器的容积最大时， $h =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、已知函数 $f (x)$ 与 $f' (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$

A、在区间 $(- 1, 2)$ 上是减函数 B、在区间 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 上是减函数 C、在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 上减函数 D、在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数

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16、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 12$ ， $S_{24} = 36$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、24 B、12 C、24或－12 D、－24或12

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17、若 $f (x) = \ln (2 - x) - x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、2 C、－2 D、－4

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18、若 $C_{n}^{2} = 15$ ，则 $A_{n}^{2} =$ （）

A、30 B、20 C、12 D、6

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19、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots n a_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，

(1)、求 $a_{3}$ 的值；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = \frac{T_{n - 1}}{n} + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}) a_{n} (n \geq 2)$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} < 2 + 2 \ln n$ ．

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + \ln x (a, b \in R)$ .
（1）若 $a = 1, b = 3$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.
（2）若 $b = 0$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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