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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln \frac{2 + x}{2 - x}$ ，则不等式 $f (x + 1) > f (2 x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ D、 $(- 1, 2)$

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2、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{16}]$ B、 $(- \infty, \frac{2}{5}]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, 4]$

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3、某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 $y$ （单位：千件）与售价 $x$ （单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：
$x$
$5$
$6$
$7$
$8$
$9$
$y$
$8$
$6$
$4.5$
$3.5$
$3$
根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = - 1.25 x + 13.75$ ，以下说法正确的是（）

A、 $x$ ， $y$ 具有负相关关系，相关系数 $r = - 1.25$ B、 $x$ 每增加一个单位， $y$ 平均减少 $13.75$ 个单位 C、第二个样本点对应的残差 ${\hat{e}}_{2} = - 0.25$ D、第三个样本点对应的残差 ${\hat{e}}_{3} = 0.5$

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4、“ $m = - 1$ ”是“ $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + 2 m - 3}$ 为幂函数”的（）条件．

A、充要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充分不必要

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5、已知集合 $A = {x \in Z | x + 1 > 0}$ ， $B = {x | | x + 1 | \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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6、已知 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 3$ ，集合 $A_{n} = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ，其中 $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若存在函数 $f (x) (f (x) \neq x)$ ，其图象在区间 $D = [a_{1} ， a_{n}]$ 上是一段连续曲线，且 $\{f (a_{i}) ∣ a_{i} \in A_{n}\} = A_{n}$ ，则称 $f (x)$ 是 $A_{n}$ 的 $T$ 变换函数，集合 $A_{n}$ 是 $D$ 的 $T$ 子集．例如，设 $A_{5} = \{\frac{2}{3} ， 1 ， \sqrt{2} ， 2 ， 3\}$ ，此时函数 $f (x) = \frac{2}{x}$ 是 $A_{5}$ 的 $T$ 变换函数， $A_{5}$ 是 $[\frac{2}{3} ， 3]$ 的 $T$ 子集．

(1)、判断集合 $\{1 ， 2 ， 8 ， 9\}$ 是否是 $[1 ， 9]$ 的 $T$ 子集？说明理由；

(2)、判断 $f (x) = ln (1 + \frac{2}{e^{x}})$ 是否为集合 $A_{n}$ 的 $T$ 变换函数？说明理由；

(3)、若 $a_{i} < a_{j} (i ， j \in N^{*} ， 1 \leq i < j \leq n)$ ，则 $\frac{a_{j}}{a_{i}} \in A_{n}$ ，试问是否存在函数 $f (x)$ ，使得集合 $A_{n}$ 是 $D = [a_{1} ， a_{n}]$ 的 $T$ 子集？若存在，求 $f (x)$ 的解析式；若不存在，说明理由．

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7、已知动点 $P$ 到点 $F (\frac{1}{2}, 0)$ 的距离等于它到直线 $x = - \frac{1}{2}$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，过点 $M (2, 0)$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $A O$ 与直线 $x = - 2$ 相交于点 $D$ ，过点 $B$ 且与 $C$ 相切的直线交 $x$ 轴于点 $E$ ．
（i）证明：直线 $D E // l$ ；
（ii）满足四边形 $A B D E$ 的面积为12的直线 $l$ 共有多少条？说明理由．

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8、 $n (n \in N^{*}, n \geq 3)$ 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n - 1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k (k \in N^{*})$ 次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_{n} (k)$ ，球在乙手中的概率记为 $B_{n} (k)$ ．

(1)、求 $A_{5} (2), B_{5} (2), A_{5} (3), B_{5} (3)$ ；

(2)、求 $A_{n} (k)$ ；

(3)、比较 $B_{n} (k + 1)$ 与 $\frac{n - 2}{n - 1} A_{n} (k)$ 的大小，并说明理由．

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c = a (1 + 2 cos B)$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、若 $a = 3 ， b = 2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 3 \sqrt{2}, A B = 6$ ，点 $D$ 在 $△ A B C$ 内部运动（包括边界），点 $D$ 到棱 $P A, P B, P C$ 的距离分别记为 $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ ，且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 20$ ，则点 $D$ 运动路径的长度为．

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11、将 $1, 2, 3, \dots, 9$ 这9个数字填在 $3 \times 3$ 的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有种．

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12、已知 $cos α sin(α - β) - sin α cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin β =$ ．

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13、如图，半径为1的动圆 $C$ 沿着圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 外侧无滑动地滚动一周，圆 $C$ 上的点 $P (a, b)$ 形成的外旋轮线 $Γ$ ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 重合．以下说法正确的有（）

A、曲线 $Γ$ 上存在到原点的距离超过 $2 \sqrt{3}$ 的点 B、点 $(1, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上 C、曲线 $Γ$ 与直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 有两个交点 D、 $|b| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = ln \frac{4 - x}{x} + a x$ 在 $x = 3$ 处取得极大值， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $a = \frac{4}{3}$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > f (x^{2})$ C、 $f^{'} (2 + x) = f^{'} (2 - x)$ D、当 $1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 3$ 且 $x_{1} + x_{2} < 4$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{16}{3}$

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15、已知 $ω > 0$ ，曲线 $y = cos ω x$ 与 $y = cos (ω x - \frac{π}{3})$ 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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16、已知点 $P$ 在双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上，且点 $P$ 到 $C$ 的两条渐近线的距离之积等于 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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17、已知球 $O$ 的表面积为 $4 π$ ，一圆台的上、下底面圆周都在球 $O$ 的球面上，且下底面过球心 $O$ ，母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} π$ B、 $\frac{3}{2} π$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ D、 $3 π$

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18、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\} ， B = \{x ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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19、已知数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = n b_{n + 1}$ ，当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数大于2时，将数列 $\{b_{n}\}$ 中各项的所有不同排列填入一个 $n!$ 行 $n$ 列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这 $n$ 个数的一个排列，将第 $i (1 \leq i \leq n!, i \in N)$ 行的数字构成的数列记作 $\{a_{i n}\}$ ，将数列 $\{a_{i n}\}$ 中的第 $j (1 \leq j \leq n, j \in N)$ 项记作 $a_{i j}$ ．若对 $\forall i, j$ ，均有 $a_{i j} \neq b_{j}$ ，则称数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 $M$ ．

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n}$ ；

(2)、当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数为 $4$ 时，求 $M$ 的值；

(3)、若数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，试讨论 $\sum_{j = 1}^{n} |a_{i j} - b_{j}|$ 的最小值．

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20、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，且四点 $A (\sqrt{3}, 2)$ ， $B (2, \sqrt{6})$ ， $C (2, - \sqrt{6})$ ， $D (3, 2)$ 中恰有三点在E上．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且 $|O M| = |O N| = \sqrt{2}$ ．
（ⅰ）证明：Q，O，R三点共线；
（ⅱ）求 $△ P Q R$ 面积的最小值．

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$x$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$y$	$8$	$6$	$4.5$	$3.5$	$3$