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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + 4 x^{2}} - 2 x) + 4$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 4)$ 对称 B、 $f (\ln 3) + f (\ln \frac{1}{3}) = 8$ C、若函数 $g (x) = f (x) - 4$ ，则 $g (x)$ 在定义域上单调递增 D、若实数 $a$ ， $b$ 满足 $f (a) + f (b) > 8$ ，则 $a + b < 0$

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2、 $f (x) = |lg |x||$ ，下列说法不正确的是（　　）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 有最小值，没有最大值 C、 $f (x)$ 有4个零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 和 $(0, 1)$ 单调递减

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3、已知半径为 $\sqrt{3}$ 的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4、已知动点 $M$ 到定点 $F (2 \sqrt{2}, 0)$ 的距离与它到定直线 $l : x = 4 \sqrt{2}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ ，直线 $l_{1}$ 上有一动点 $H$ ，求 $|M F| - |M H|$ 的最大值；

(3)、若 $A$ ， $B$ 为轨迹 $C$ 上不同的两点，线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，当 $△ A O B$ 面积取最大值时，是否存在两定点 $S$ ， $T$ ，使 $|Q S| + |Q T|$ 为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是首项为1的等比数列， $4 b_{2} - b_{3} = 4$ ， $b_{4} = a_{4} + 4 a_{1}$ ， $2 S_{15} = 15 b_{5}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n} b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和.

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6、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ ．
（1）求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；
（2）求二面角 $C - P B - Q$ 的大小．

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7、已知双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且该双曲线经过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 方程；

(2)、设斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均经过点 $Q (2, 1)$ ，且直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.

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8、已知A、B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，始终满足 $f (|k_{1}|) = f (|k_{2}|)$ ，其中 $f (x) = |\ln (\frac{x}{2})|$ ，则C的离心率为．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d (d \neq 0)$ ，且满足 $a_{3} a_{4} + 2 a_{4} a_{6} + a_{5} a_{12} = 2024 d$ ，则 $\frac{1}{a_{6}} - \frac{1}{a_{5}} =$ .

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10、若抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的点 $P (m, n)$ 到其焦点F的距离为3，则n的值为．

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11、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} n - a_{n}, a_{1} = a_{10}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - \frac{45}{2}$ B、 $S_{9} = \frac{5}{2}$ C、 $S_{2 n} = - n^{2}$ D、 $a_{n} a_{n + 1} \leq \frac{33}{4}$

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12、已知方程 $(m - 1) x^{2} + (4 - m) y^{2} = (m - 1) (4 - m)$ 表示曲线Γ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 1$ ，则Γ是 $y$ 轴 B、若 $m = 2.5$ ，则Γ是圆 C、若 $1 < m < 2.5$ ，则Γ是椭圆 D、若Γ是双曲线，则 $m < 1$

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13、如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（）

A、 $\vec{V A} + \vec{V B} + \vec{V C} + \vec{V D}$ = $\vec{0}$ B、 $\vec{V A} + \vec{V B} - \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ C、 $\vec{V A} - \vec{V B} + \vec{V C} - \vec{V D}$ = $\vec{0}$ D、 $\vec{V A} \cdot \vec{V B} = \vec{V C} \cdot \vec{V D}$

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14、已知 $P (2, - 2)$ 是离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 外一点，经过点 $P$ 的光线被 $y$ 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{8}$

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15、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，等差数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{20 n - 1}{2 n - 1}$ ．则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{59}{5}$ B、11 C、12 D、13

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(2, 6)$ B、 $(4, 6)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(4, + \infty)$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的短轴长和焦距相等，则a的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、对于函数 $f (x)$ ，若其定义域内存在非零实数 $x$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数 $x$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，则称 $f (x)$ 为“伪偶函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ ，判断 $f (x)$ 是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；

(2)、若幂函数 $g (x) = (n - 1) x^{3 - n} (n \in R)$ 使得 $f (x) = 2^{g (x)} + m$ 在 $[- 1, 1]$ 上是“伪奇函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若整数 $m$ 使得 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 是定义在 $R$ 上的“伪奇函数”，求： $m$ 的取值集合.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、取线段 $P A$ 中点M，连接 $B M$ ，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点E，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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20、已知 $△ A B C$ 的面积记为 $S$ .请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
① $2 a = c + 2 b cos C$ ；② $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{B C} + 2 S = 0$ ；③ $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$
$△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________.

(1)、若 $b = 7$ ， $c = 5$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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