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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $M (2, 3, - 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(2, 3, 1)$ B、 $(2, - 3, - 1)$ C、 $(- 2, 3, - 1)$ D、 $(2, - 3, 1)$

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2、 $DeepSeek$ 是由中国杭州的 $DeepSeek$ 公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高 $DeepSeek$ 的应用能力，某公司组织全体员工参加 $DeepSeek$ 培训．培训结束之后，公司举行了一次 $DeepSeek$ 专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．

(1)、若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；

(2)、已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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3、以下结论正确的是（）

A、若 $x \neq 0$ ，则 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2 B、若 $a, b \in R$ 且 $a b > 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值是2 D、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $a b \leq \frac{1}{4}$

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\frac{\sqrt{3} c}{a} - sin B = tan A \cdot cos B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求边 $c$ .

(3)、若 $\cos (x + A) = \frac{1}{7}$ ，且 $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin x$ 的值.

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5、在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $B A = B C$ ， $A C = 2 D F$ ， $M$ 为 $A C$ 的中点， $P$ 是 $C F$ 上一点，且 $\frac{C F}{D F} = \frac{M C}{C P} = λ (λ > 1)$ .

(1)、若 $λ = \sqrt{3}$ ，求证： $C D ⊥$ 平面 $P B M$ ；

(2)、已知 $C P = 1$ ，且直线 $B C$ 与平面 $P B M$ 的所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求平面 $E F M$ 与平面 $P B M$ 所成夹角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，求点 $A$ 到平面 $P B M$ 的距离.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x + 1}, x \leq 0, \\ - {log}_{2} x, x > 0, \end{array}$ 则 $f [f (3)] =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = 3 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}), g (x) = 3 cos \frac{x}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的最小值 C、直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ 的图像

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8、命题 $p :$ $f (x) = \{\begin{array}{l} (a + 4) \ln (x + 2) - a - 1, - 2 < x < - 1 \\ x^{2} + 2 a x - 7, - 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ 在 $x \in (- 2, 2]$ 上为减函数，命题 $q : g (x) = \frac{a x + 4}{x - 1}$ 在 $(1, + \infty)$ 为增函数，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10、高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设 $x \in R$ ，用符号 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[1.6] = 1, [- 1.6] = - 2$ 称函数 $f (x) = [x]$ 叫做高斯函数．下列关于高斯函数 $f (x) = [x]$ 的说法正确的有（）

A、 $f (- 3) = - 3$ B、若 $f (a) = f (b)$ ，则 $|a - b| < 1$ C、函数 $y = f (x) - x$ 的值域是 $[- 1, 0)$ D、函数 $y = x \cdot f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增

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11、已知 $A (1, 0), B (- 2, 3)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足到 $A, B$ 两点的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : (2 m + 1) x - (m - 1) y - m - 2 = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $|M N|$ 的取值范围.

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12、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 60^{\circ}$ ，在平面 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，且 $A B = A C = 2, A_{1} B = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值.

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13、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1, 3)$ ，边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线方程为 $y = 2 x + 1$ .

(1)、求顶点 $C$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程.

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14、已知空间向量 $\vec{a} = (λ + 1, 2 λ, 1), \vec{b} = (6, 2, 2 - μ)$ ，且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ .

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = - \frac{4}{3} x$ ，且其右焦点为 $(5, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为.

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16、人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上动点 $P$ 到左焦点 $F (- c, 0)$ 的距离和动点 $P$ 到直线 $x = - \frac{a^{2}}{c}$ 的距离之比是常数 $\frac{c}{a}$ .已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F$ 为左焦点，直线 $l$ ： $x = - 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $M$ ，过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方），分别过点 $A$ ， $B$ 向 $l$ 作垂线，垂足为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则（）

A、 $|A A_{1}| = 2 |A F|$ B、 $|M A| \cdot |B F| = |M B| \cdot |A F|$ C、直线 $M A$ 与椭圆相切时， $|A B| = 4$ D、 $\sin ∠ A F M = 2 \tan ∠ A M F$

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17、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 13 = 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、圆心坐标为 $(2, 1)$ B、圆 $C$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ 有三条公切线 C、直线 $l : x + y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为8 D、若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $y = x + b$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $b = 3$ 或 $- 5$

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18、过点 $M (- 2, 1)$ 且与 $A (- 1, 2), B (3, 0)$ 两点距离相等的直线方程（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $y = 1$ D、 $x = 1$

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19、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左､右两支分别交于 $A, B$ 两点.若 $|A B| : |B F_{2}| : |A F_{2}| = 3 : 4 : 5$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{3}$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点为 $F, P$ 是椭圆上任意一点，点 $A (0, 2 \sqrt{3})$ ，则 $△ A P F$ 的周长的最大值为（）

A、 $9 + \sqrt{21}$ B、14 C、 $7 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{5}$ D、 $15 + \sqrt{3}$

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