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相关试卷

1、东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格 $P (x)$ （单位：元/千克）关于第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ 的函数关系近似满足 $P (x) = 10 + \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ，且为常数），日销售量 $Q (x)$ （单位：千克）关于第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
9
14
18
22
29
$Q (x)$
54
59
63
59
52
已知第9的日销售收入为552元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：
① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = a |x - m| + b$ ；③ $Q (x) = a^{x} + b$ ；④ $Q (x) = b {log}_{a} x$ .
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量 $Q (x)$ 关于第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)、设该工艺品的日销售收入为函数 $y = f (x)$ （单位：元）；求函数 $f (x)$ 的最小值.

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2、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = - 1$ ，且 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ， $g (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $g (x) = f (x)$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $R$ 上的解析式，在给定的坐标系中画出 $g (x)$ 的图象，并根据图象写出函数 $g (x)$ 的单调增区间；

(2)、讨论关于 $x$ 的方程 $2 g (x) + m - 1 = 0 (m \in R)$ 的根的个数.

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3、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 3 x + 4\}$ ， $B = \{x ∣ a \leq x \leq a + 2\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、（1）计算 $lg 25 + \frac{2}{3} lg 8 + 3^{1 + 3 {log}_{3} 2}$ .
（2）已知 $x + x^{- 1} = 3$ ，求 $\frac{x^{3} - x^{- 3}}{x^{2} - x^{- 2}}$ 的值.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (5 - a) x + 5, x < 2 \\ a^{x}, x \geq 2 \end{matrix}$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.
（1）若 $f [f (0)] = \frac{1}{32}$ ，则实数 $a$ 的值是；
（2）若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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6、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 4$ （ $a, b$ 为常数），且 $f (ln 3) = 1$ ，则 $f (ln \frac{1}{3}) =$ .

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $2 a + b = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为5 B、若 $2 a + b = 4$ ，则 ${log}_{2} a + {log}_{2} b$ 的最大值为1 C、若 $2 a + b = 4$ ，则 $4^{a} + 2^{b}$ 的最小值为8 D、若 $2 a + b = 4$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $\frac{9}{5}$

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8、下列说法，正确的是（）

A、 ${cos}^{4} α - {sin}^{4} α = 1 - 2 {sin}^{2} α$ B、若角 $α$ 与角 $β$ 的终边在同一条直线上，则 $α - β \neq 2 k π (k \in Z)$ C、若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, 3)$ ，则 $\frac{cos α}{sin α + cos α} = - \frac{1}{2}$ D、若扇形的弧长为2，圆心角为 $30 °$ ，则该扇形的面积为 $\frac{12}{π}$

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9、某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.30$ ， $lg 3 \approx 0.48$ ）

A、2029年 B、2030年 C、2031年 D、2032年

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10、已知函数 $f (x) = ln (7 + 2 a x - x^{2})$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \leq - 1$ B、 $a \geq - 1$ C、 $- 3 < a \leq - 1$ D、 $- 3 \leq a \leq - 1$

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11、已知命题 $p :$ “ $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + a x - 3 \geq 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a ∣ a \leq - 12$ 或 $a \geq 0}$ B、 ${a ∣ a < - 12$ 或 $a \geq 0}$ C、 $\{a ∣ - 12 \leq a \leq 0\}$ D、 ${a ∣ - 12 < a \leq 0}$

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12、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \frac{3}{x} - ln x$ 的一个零点，则 $x_{0} \in$ （）

A、(0，1) B、(1，2) C、(2，3) D、(3，4)

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13、已知 $a = {0.7}^{0.7}$ ， $b = lg 0.7$ ， $c = {1.7}^{0.7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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14、 $- 2024^{\circ}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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15、对于一个集合 $A$ ，如果 $\forall x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，记 $B$ 为 $A$ 去掉 $x, y$ 后的集合，若有 $x + y \in B$ 或 $| x - y | \in B$ ，我们就称 $A$ 是一个梦想集合.回答下列问题：

(1)、写出一个常数，使得集合 $\{2, 3\}$ 在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；

(2)、给定正偶数 $n$ 和 $k$ ，且 $n \geq 4$ ，判断集合 $A = {t k ∣ 1 \leq t \leq n, t \in Z}$ 是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)、证明：不存在有限的梦想集合 $A$ ，满足 $A$ 中的元素均为正实数，且 $A$ 中的元素个数为大于 $5$ 的奇数.

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2}{x}, x < 0 \\ - x, 0 \leq x < 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 3 x, x \geq 2 \end{array}$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (2)$ ， $f (f (2))$ 的值；

(2)、若 $f (m) = - 1$ ，求 $m$ 的值；

(3)、作出函数 $f (x)$ 的大致图象，并求 $x > 1$ 时， $f (x)$ 的值域．

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17、计算：

(1)、 ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\sqrt[5]{- 2})}^{5} - \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $5^{\log_{5} 2} + \lg \frac{1}{10} + \lg 2 - \lg 0.2$ .

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18、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，且函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 5, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ 在定义域上单调，则a的取值范围是．

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19、若函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，则函数 $y = f (x - 1) + 1$ 的图象必过定点．

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20、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y (x + y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (1) = 0$ ，则当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) > 0$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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$x$	9	14	18	22	29
$Q (x)$	54	59	63	59	52