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相关试卷

1、若 $x^{4} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + a_{3} {(1 + x)}^{3} + a_{4} {(1 - x)}^{4}$ ，则 $a_{0} + 4 a_{2} =$ （）

A、-15 B、-2 C、2 D、15

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2、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{\bar{z} + 1} = \frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}}$ ，则 $|z - \frac{1}{2}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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3、下列函数是奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的为（）

A、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ B、 $y = 3^{x}$ C、 $y = \lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ D、 $y = \sin x$

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4、“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足 $v^{2} = \frac{4 H}{1 - H v^{2}}$ 的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

A、 $0.2$ 米 B、 $0.25$ 米 C、 $0.45$ 米 D、 $0.7$ 米

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - 2 \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{65}}{65}$ B、 $\frac{2 \sqrt{35}}{35}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\frac{4 \sqrt{35}}{35}$

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6、已知集合 $A = \{x | |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap N^{*} =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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7、函数 $f (x) = 2025 |\tan x|$ 的最小正周期是（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8、已知数列 $P$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n_{0}} (n_{0} \geq 3)$ 各项为正整数.对任意正整数 $k$ ，定义： $S_{k} (P) = card \{n |a_{n} \leq k\}$ ， $T_{k} (P) = card \{n |a_{n} \geq k\}$ ，其中 $card A$ 表示有限集 $A$ 中的元素个数，规定 $card \emptyset = 0$ .

(1)、对于数列 $P$ ：1，3，2，2，写出 $S_{1} (P)$ ， $S_{2} (P)$ ， $T_{3} (P)$ ， $T_{4} (P)$ 的值；

(2)、若数列 $P$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n_{0}}$ 满足 $a_{i} \leq a_{i + 1} \leq a_{n_{0}} = m (1 \leq i \leq n_{0} - 1)$ .
（i）若 $S_{k} (P) = 2 k (1 \leq k \leq m)$ ，令 $P_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，当 $1 \leq n \leq 2 m$ 时，求 $P_{n}$ ；
（ii）求证： $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n_{0}}^{2} = T_{1} (P) + 3 T_{2} (P) + \cdot \cdot \cdot + (2 m - 1) T_{m} (P)$ .

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9、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(3)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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10、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程和短轴长；

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + 1$ 与E相交于不同的两点B，C，直线 $A B$ ， $A C$ 分别与直线 $x = 4$ 交于点M，N.当 $|M N| = 6$ 时，求 $k$ 的值.

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11、AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技米，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：
试卷序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
系统甲评分
82
88
76
92
87
66
75
69
90
58
86
84
系统乙评分
80
82
76
90
80
61
71
65
88
54
82
80
最后得分
81
85
76
91
85
64
74
67
89
56
84
83

(1)、从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；

(2)、从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为 $Y_{1}$ ，乙系统对其评分为 $Y_{2}$ ，最后得分为 $Z$ .令 $ξ = |Y_{1} - Z|$ ， $η = |Y_{2} - Z|$ ，试比较方差 $D ξ$ 和 $D η$ 的大小.（结论不要求证明）

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定.当 $f (x)$ 在区间 $(0, a) (a > 0)$ 上仅有一个零点时，求 $a$ 的取值范围.
条件①： $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上是单调函数；
条件②： $y = f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{3}, 0)$ ；
条件③：对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{12})$ 成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 120 °$ ， $P A = A B = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、若平面 $A C E$ 与棱 $P D$ 交于点 $E$ ，且 $P B / /$ 平面 $A C E$ ，求证： $E$ 是 $P D$ 中点；

(2)、若 $F$ 是棱 $P D$ 上一点，且满足 $\frac{P F}{P D} = \frac{2}{3}$ ，当 $B D ⊥ P C$ 时，求 $P C$ 与平面 $A C F$ 所成角的正弦值.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, 0 < x \leq 1, \\ x - 1, x > 1. \end{array}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = m (m > 0)$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ .
给出下列四个结论：
①若 $a_{3} = 3$ ，则 $m$ 有3个不同的可能取值；
②若 $m = \sqrt{2} - 1$ ，则 $a_{n + 3} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
③对于任意 $m > 2$ ，存在正整数 $T$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
④对于任意大于2的正整数 $T$ ，存在 $m > 1$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
其中所有正确结论的序号是.

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15、在 $△ A B C$ 中， $2 b = 3 c$ ， $∠ A = 2 ∠ C$ ，则 $\cos C =$ .

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16、已知直线 $l$ ： $y = k x - 1$ 与圆 $O$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 有两个交点，则 $k$ 可以是.（写出满足条件的一个值即可）

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17、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{n} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ .

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18、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且过点 $M (2, \sqrt{3})$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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19、已知直线 $y = - x + 4$ 分别与函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = {log}_{2} x$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，给出下列三个结论：① $2^{x_{1}} > x_{2}$ ；② $2^{x_{1}} + 2^{x_{2}} > 8$ ；③ $x_{1} \log_{2} x_{2} - x_{2} \log_{2} x_{1} > 0$ .其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于不同的两点A，B， $O$ 为坐标原点，直线 $B O$ 与 $l$ 交于点M，若 $|A F| = 2 |F B|$ ，则 $△ A B M$ 的面积等于（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2

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试卷序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
系统甲评分	82	88	76	92	87	66	75	69	90	58	86	84
系统乙评分	80	82	76	90	80	61	71	65	88	54	82	80
最后得分	81	85	76	91	85	64	74	67	89	56	84	83