相关试卷

1、已知a，b是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ 的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是( )．

A、11 B、20 C、28 D、36

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2、已知关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解 $x_{1} = - 2, x_{2} = 1$ 是(a，m，b均为常数，a≠0)则方程 $a {(3 x + m + 1)}^{2} + b = 0$ 的解是( )．

A、 $- x_{1} = - 5, x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 0$ C、 $x_{1} = - 2, x_{1} = 1$ D、无法求解

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3、若关于x的方程 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 k x - 4 k + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则代数式 $2026 - 2 k^{2} - 4 k$ 的值为( )．

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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4、甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙写错了一次项系数，得到方程的两根是-9和-1，则原来的方程是( )．

A、 $x^{2} + 10 x + 9 = 0$ B、 $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ C、 $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ D、 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$

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5、新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为( ).

A、 $2020 (1 + x^{2}) = 4000$ B、2020(1+2x)=4000 C、 $2020 {(1 + x)}^{2} = 4000$ D、 $4000 {(1 - x)}^{2} = 2020$

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6、若一个三角形两条边长为2和4，第三条边长满足方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0,$ 则此三角形的周长为( )．

A、8 B、11 C、8或11 D、8或10

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7、下列方程中，有两个相等的实数根的是( )．

A、 $x^{2} + 3 x = 0$ B、 $x^{2} + 4 x = 4$ C、 $x^{2} + 2 x = - 1$ D、 $x^{2} - 4 = 0$

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8、一元二次方程 $x^{2} - 6 x - 2017 = 0$ 化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则a+b的值为( )．

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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9、若 $(m - 2) x^{2} - 3 x - n = 0$ 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为( )．

A、m≠2 B、m>2 C、m<2 D、0<m<2

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10、阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
若 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ，求代数式 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值．
解： $∵ \frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ， $∴ \frac{x^{2} + 1}{x} = 2$ ，即 $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = 2$ ， $∴ x + \frac{1}{x} = 2$ ，
$∴ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 2^{2} - 2 = 2$ ．

(1)、若 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{3}$ ，则 $x + \frac{1}{x} =$ ________， $\frac{x^{2}}{x^{4} + 7 x^{2} + 1} =$ ________；

(2)、解分式方程组 $\{\begin{cases} \frac{m n}{2 m + 3 n} = \frac{1}{5} \\ \frac{m n}{3 m + 2 n} = \frac{1}{3} \end{cases}$ ；

(3)、若 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{2024}$ ， $\frac{b c}{b + c} = - \frac{1}{2025}$ ， $\frac{a c}{a + c} = \frac{1}{2026}$ ，求 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值．

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11、某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有个球队参加比赛．

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12、 $A I$ 赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对 $A I$ 赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱 $A I$ 赋能数学课堂的概率约为．（结果精确到 $0.1$ ）
累计抽测的学生数n
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
喜欢 $A I$ 赋能数学课堂的学生数与n的比值
$0.75$
$0.80$
$0.83$
$0.80$
$\begin{array}{l} 0.79 \end{array}$
$0.80$
$\begin{array}{l} 0.81 \end{array}$
$\begin{array}{l} 0.81 \end{array}$
$0.82$
$0.80$

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13、【综合与探究】
问题情境：将矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形 $A^{'} B^{'} C D^{'}$ ，点A，B，D的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $D^{'}$ ，设直线 $A D$ 与直线 $A^{'} D^{'}$ 交于点E．
猜想证明：
（1）猜想 $D E$ 与 $D^{'} E$ 的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点 $B^{'}$ 恰好落在矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上时，点 $A^{'}$ 恰好落在 $A D$ 的延长线上（即点 $A^{'}$ 与点E重合），连接 $A^{'} C$ ，求证：四边形 $A^{'} D B C$ 是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形 $A B C D$ 绕点C顺时针旋转的过程中，若 $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，当 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， D三点在同一条直线上时，请直接写出 $A^{'} D$ 的值．

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14、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线 $A E D$ 构成，其中 $A B = 3 m$ ， $B C = 4 m$ ，取 $B C$ 中点 $O$ ，过点 $O$ 作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点 $E$ ，若以 $O$ 点为原点， $B C$ 所在直线为 $x$ 轴， $O E$ 为 $y$ 轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)、如图2，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0, 4)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图4，在某一时刻，太阳光线透过 $A$ 点恰好照射到 $C$ 点，此时大棚截面的阴影为 $C K$ ，求 $C K$ 的长．

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15、如图，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 边于点 $M$ ，交 $B C$ 边于点 $N$ ，连接 $A N$ ，过点 $C$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ B C P = ∠ B A N$ ．求证：

(1)、 $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、 $A M \cdot C P = A N \cdot C B$ ．

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16、如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于A，B两点，已知点 $A (- 8, 1)$ ，点 $B (n, - 4)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据函数图象直接写出关于x的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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17、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点O对称，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，在网格中画出旋转后对应的 $△ A B_{2} C_{2}$ ，并求出此过程中线段 $A C$ 扫过的面积．（结果保留 $π$ ）

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18、电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破 $148.87$ 亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片： $A$ 哪吒， $B$ 敖丙， $C$ 太乙真人， $D$ 申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．

(1)、第一次取出的卡片图案为“ $A$ 哪吒”的概率为_______；

(2)、用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“ $A$ 哪吒”和“ $C$ 太乙真人”的概率．

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19、解方程．

(1)、 $x^{2} - 3 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ．

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20、如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．点P是线段 $A B$ 上一点，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，连接 $O P$ ，若 $△ P O D$ 的面积为S，则S的取值范围是．

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累计抽测的学生数n	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
喜欢 $A I$ 赋能数学课堂的学生数与n的比值	$0.75$	$0.80$	$0.83$	$0.80$	$\begin{array}{l} 0.79 \end{array}$	$0.80$	$\begin{array}{l} 0.81 \end{array}$	$\begin{array}{l} 0.81 \end{array}$	$0.82$	$0.80$