四川省遂宁市2026年中考数学真题

试卷更新日期：2026-06-22 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $- 2026$ 的绝对值是( )

A、 $2026$ B、 $- 2026$ C、 $\pm 2026$ D、 $- \frac{1}{2026}$

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2. 下图是一种常见的化学实验仪器 $— —$ 漏斗，它的俯视图是( )

A、 B、 C、 D、

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3. $2025$ 年 $11$ 月 $5$ 日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰福建舰入列 $.$ 已知单次弹射需要释放的能量约为 $120$ 兆焦耳 $(M J)$ ， $120 M J = 120000000 J .$ 用科学记数法将数据 $120000000$ 表示为( )

A、 $1.2 \times 10^{7}$ B、 $12 \times 10^{7}$ C、 $1.2 \times 10^{8}$ D、 $12 \times 10^{8}$

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4. 下列计算错误的是( )

A、 $(- 4 a)^{2} = 16 a^{2}$ B、 $- 3 a + 5 a - 6 a = - 4 a$ C、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ D、 $a - (b - c) = a - b - c$

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5. 已知点 $P (a + 2, - 1)$ 是第三象限内一点，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a > 2$ B、 $a > - 2$ C、 $a < - 2$ D、 $a \leq - 2$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x - 1 = 0$ 的根的情况是( )

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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7. 关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x \geq x - 3 \\ - x + 1 > k \end{array}$ 的解集在数轴上的表示如图所示，则 $k$ 的值为( )

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽 $($ 不考虑接缝处损耗 $)$ ，若锥形帽底面圆的直径为 $32 c m$ ，母线长为 $30 c m$ ，则扇形纸片的圆心角为( )

A、 $86 °$ B、 $144^{\circ}$ C、 $150^{\circ}$ D、 $192^{\circ}$

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9. 如图，在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ B = 90^{\circ}, A B = 5, B C = 12$ ，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点．将 $▵ A B C$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转到 $▵ A D E$ 的位置，点 $D$ 恰好在边 $A C$ 上，点 $M^{^{'}}$ 是点 $M$ 的对应点，则 $M 、 M^{'}$ 两点间的距离为( )

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{13}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a 、 b 、 c$ 为常数，且 $a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的两个交点坐标分别为 $(- 1,0) 、 (m, 0)$ ，且 $2 < m < 3 .$ 下列结论： $① a b c > 0$ ； $② 3 a + c < 0$ ； $③ - 4 a < y_{最小值} < - \frac{9 a}{4}$ ； $④$ 若方程 $a x^{2} + b x + c + \frac{1}{2} = 0$ 有实数根，则 $b^{2} - 4 a c > a .$ 其中正确结论的序号为( )

A、 $① ④$ B、 $② ③$ C、 $① ② ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 实数 $x$ 在数轴上对应点的位置如图所示，则 $x + 1$ $- x . ($ 填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ” $)$

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12. 某班甲、乙、丙 $3$ 名同学参加实心球测试，每人投掷实心球 $5$ 次成绩的平均数 $($ 单位：米 $)$ 及方差如下表：
项目
甲
乙
丙

$\bar{x}$

$9.56$

$10.25$

$10.25$

$s^{2}$

$0.15$

$0.36$

$0.15$
根据表中信息，选择 $1$ 名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $B D = 6$ ， $E F$ 是线段 $B C$ 的垂直平分线，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，连结 $C F$ ，则 $△ C D F$ 的周长为．

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14. 值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放， $4$ 个杯子叠放成一摞的总高度为 $14 c m$ ， $9$ 个杯子叠放成一摞的总高度为 $24 c m$ ，如图所示 $.$ 请问将 $50$ 个这款杯子放在限高 $45 c m$ 的摆放区，至少需要叠放摞 $.$

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15. 如图，在边长为 $3 c m$ 的正方形 $A B C D$ 中，以点 $B$ 为圆心， $\frac{2}{3} c m$ 为半径作弧，交 $B C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $N$ ，再分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $K$ ，作射线 $B K .$ 点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $B E = 2 A E$ ，连接 $E M$ 并延长，交 $B K$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，则 $D G$ 的长为 $c m$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共4分。

16. 计算： $\sqrt[3]{8} - (π - 1)^{0} + s i n 30^{\circ}$ ．

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四、解答题：本题共9小题，共101分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 4}{a^{3} + 2 a^{2}} \div (1 - \frac{2}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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18. 如图，在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C, A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F / / B C$ 交 $C E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ D E C ≌ △ A E F$ ；

(2)、判断四边形 $A D B F$ 的形状并说明理由．

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19. 安居“ $524$ ”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“ $524$ ”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖 $4$ 元，且用 $30$ 元购买“红薯粉条”的袋数与用 $18$ 元购买“红薯淀粉”的袋数相等．

(1)、求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？

(2)、某游客计划购买这两类产品 $($ 两类都有 $)$ ，恰好用完 $100$ 元．请问该游客有哪几种购买方案？

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20. 遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：

实物图
测量工具	无人机
测量方法及数据	在桥面 $A$ 点用无人机测得主桥塔顶 $C$ 点的仰角为 $37^{\circ}$ ，将无人机垂直上升 $40$ 米至 $B$ 处，测得主桥塔顶 $C$ 点的仰角为 $22^{\circ}$ ．
测量示意图
参考数据	$s i n 22^{\circ} \approx 0.37$ ， $c o s 22^{\circ} \approx 0.93$ ， $t a n 22^{\circ} \approx 0.4$ ， $s i n 37^{\circ} \approx 0.60$ ， $c o s 37^{\circ} \approx 0.80$ ， $t a n 37^{\circ} \approx 0.75$ ．

请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即 $C D$ 的长． $($ 精确到 $1$ 米 $)$

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21. 某校团委计划在“心理健康日”组织学生开展心理健康活动，根据活动形式分为四组： $A .$ 心理专题讲座、 $B .$ 心理健康电影、 $C .$ 心理疗愈音乐会、 $D .$ 心理健康情景剧．为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，在全校随机抽取学生，对其进行“我最喜欢的一种心理健康活动”问卷调查，依据样本数据绘制了如下两幅统计图．请结合调查信息，完成下列问题：

(1)、本次调查共抽取了名学生，扇形统计图中 $m =$ ，心理疗愈音乐会对应扇形圆心角的度数为度；

(2)、被调查学生最喜欢的心理健康活动是； $($ 请选择填写 $A 、 B 、 C 、 D)$

(3)、请估计全校 $1000$ 名学生中喜欢心理专题讲座的人数；

(4)、学校从 $B 、 D$ 小组选了 $4$ 名代表 $($ 每组各两名 $)$ ，决定从这 $4$ 名代表中选 $2$ 名作活动感悟分享．请用画树状图或列表的方法，求选出的 $2$ 名代表来自不同组的概率．

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22. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 3,2) 、 B (a, - 6)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)、根据图象，直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围；

(3)、将一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象向上平移 $5$ 个单位长度后，与 $x$ 轴下方的反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 图象交于点 $P$ ，求 $▵ A C P$ 的面积．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ，过点 $D$ 的直线分别与 $A B 、 A C$ 的延长线交于点 $F 、 G$ ，且 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ C D G$ ．

(1)、求证： $D G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10, C D = 6$ ，求 $B F$ 的长．

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24. 综合与实践 $— —$ 探索五角星的奥秘
节日前夕，有时需要制作许多五角星．我们用折纸的方法，探索五角星的制作过程．

(1)、如图 $1$ ，先将一张正方形的纸片沿 $M N$ 对折，再找到 $M N$ 的中点 $O$ ，将平角 $∠ M O N$ 五等分，得到图 $2$ ，接着沿图中的虚线依次对折，得到图 $3$ ，然后过点 $N$ 作 $N Q ⊥ O P$ 于点 $Q$ ，得到图 $4$ ，最后沿 $N Q$ 把图 $4$ 中的阴影部分剪掉，将余下部分展开，就得到图 $5$ 所示的一个正五边形．请直接写出正五边形的内角和为．

(2)、连接图 $5$ 中正五边形的对角线，得到图 $6 .$ 请根据图 $6$ ，完成下列问题：
①求 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5$ 的度数；

(3)、把图 $4$ 剪掉阴影部分后，得到图 $7$ ，然后沿 $N R$ 把图 $7$ 中的阴影部分剪掉，展开余下部分，将得到一个五角星．例如，当 $∠ R N Q = 25^{\circ}$ 时，得到的五角星如图 $8$ 所示；若使展开后的五角星如图 $6$ 所示，则 $∠ R N Q$ 的度数为．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1,0) 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0,2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、连接 $B C$ ，点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的点，过点 $P$ 作 $P H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，求线段 $P H$ 的最大值；

(3)、连接 $A C$ ，点 $D$ 与点 $C$ 关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点 $E$ ，作射线 $D E$ ，使 $∠ B D E = ∠ A C O$ ，求点 $E$ 的纵坐标．

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项目	甲	乙	丙
$\bar{x}$	$9.56$	$10.25$	$10.25$
$s^{2}$	$0.15$	$0.36$	$0.15$