相关试卷

1、如图1，已知 $△ A B C$ 的高 $A D = 10, B C = \frac{55}{3}, \tan B = \frac{3}{4}$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 上的动点，以 $D E$ 为直径作圆 $O$ ，交边 $A B$ 于 $F$ ，交线段 $B D$ 于 $N$ ，交线段 $A D$ 于 $M$ ．

(1)、求证： $∠ D A B = ∠ F D B$ ．

(2)、如图2，连接 $C F$ ，若 $C F$ 恰好经过点 $M$ ．
①求 $\frac{E F}{D M}$ 的值．
②求 $D N$ 的长．

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2、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），且 $A B = 10$ ，图象顶点的横坐标为4．

(1)、求 $A 、 B$ 两点的坐标．

(2)、求方程 $a x^{2} - (6 a - b) x + 9 a - 6 b + c = 0$ 的解．

(3)、若 $a = 1$ ，将此二次函数在 $x$ 轴下方的图象沿 $x$ 轴翻折得到新的函数图象，若直线 $y = k$ 与新图象有4个交点，从左至右依次为 $M 、 N 、 P 、 Q$ ，当 $M N = \frac{1}{2} N P = P Q$ 时，求 $k$ 的值．

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3、综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，则有 $A P \cdot B P = C P \cdot D P$ ．

(1)、【猜想验证】请证明上述结论．

(2)、【实践应用】如图2，若 $A (- 1, 0) 、 B (3, 0) 、 C (0, - 1.5)$ ，则 $D$ 的坐标为___________．

(3)、【综合拓展】如图3，已知二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点（ $A$ 在 $y$ 轴左侧， $B$ 在 $y$ 轴右侧），与 $y$ 轴负半轴交于点 $C$ ．经过 $A 、 B 、 C$ 三点的圆与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$ ，求点 $D$ 的坐标．

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4、如图，港口 $B$ 位于岛 $A$ 的北偏西 $37 °$ 方向，灯塔 $C$ 在岛 $A$ 的正东方向， $A C = 15 km$ ，一艘海轮 $D$ 在岛A的正北方向，且 $B 、 D 、 C$ 三点在一条直线上， $D C = \frac{5}{2} B D$ ．

(1)、求岛 $A$ 与港口 $B$ 之间的距离．

(2)、求 $tan C$ ．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}, \cos 37 ° \approx \frac{4}{5}, \tan 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ）

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5、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B A$ 延长线上一点， $F$ 为 $C E$ 的中点，以 $B$ 为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧经过 $A D$ 与 $C E$ 的交点 $G$ ，连结 $B G$ ．

(1)、求证： $B G = \frac{1}{2} C E$ ．

(2)、若 $A B = 12, C E = 26$ ，求 $A G$ 的长．

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6、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + |- 3| - \sqrt[3]{27}$ ．

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7、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的点．若 $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $C F = 1$ ， $∠ A E B = ∠ A F E = ∠ E F C$ ，则 $A E$ 的长为．

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8、如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} > 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象交于 $A 、 B$ 两点，点 $A$ 的横坐标为 $1$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- 2$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，则 $x$ 的取值范围是．

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9、如图，两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别经过正六边形 $A B C D E F$ 的顶点 $B 、 C$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ．当 $∠ 2 = 95 °$ 时，则 $∠ 1 =$ ．

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10、不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 \\ x - 3 < 3 \end{array}$ 的解集为．

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11、因式分解： $a^{2} - 5 a =$ ．

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $O C$ 上一点，连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E ， E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连接 $B E ， C F$ ．当四边形 $B C F E$ 为平行四边形时，若 $sin ∠ D A C = k$ ，则 $\frac{G E}{G F}$ 的值为（）

A、 $k$ B、 $2 \sqrt{1 - k^{2}} - 1$ C、 $2 \sqrt{1 - k^{2}} + 1$ D、 $\frac{k}{2 \sqrt{1 - k^{2}} - 1}$

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13、在平面直角坐标系中，两点 $A (x_{1}, y_{1}) 、 B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + b (a > 0)$ 上，则下列结论中正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2} < 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ C、若 $x_{1} < 2 < x_{2}$ ，且 $y_{1} y_{2} < 0$ ，则 $b < 0$ D、若 $x_{1} > x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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14、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ．若点 $A (- 6,2)$ 的对应点为 $A^{'} (- 12,4)$ ，则点 $B (- 4,8)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 8, 16)$ B、 $(16, - 8)$ C、 $(- 16, 8)$ D、 $(8, - 16)$

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15、运算 ${(- a)}^{2} + a^{2}$ 的结果是（）

A、0 B、2 $a^{2}$ C、4a D、 $a^{4}$

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16、阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$ 时，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 6) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 6 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 6 x = 0$ 的根．
学习任务：

(1)、方程 $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x = 0$ 的根是： $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ _____， $x_{3} =$ _____；

(2)、求方程 $\sqrt{3 x - 2} = x$ 的根；

(3)、如图是一个篮球场的平面示意图，已知长 $A D = 28 m$ ，宽 $A B = 15 m$ ，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为 $42 m$ 的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在 $A D$ 边上 $(A P > P D)$ 时，求 $A P$ 的长．

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17、在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的 $Rt △ A B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点D是 $B C$ 边上的中点．

(1)、请用尺规作图作出 $Rt △ A B C$ 绕点D旋转 $180 °$ 后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质；

(2)、在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离．

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18、某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务：

材料一	如图， A型板材规格是 $60 cm \times 30 cm$ ； B型板材规格是 $40 cm \times 30 cm$ ．
材料二	目前只能购得 $150 cm \times 30 cm$ 的标准板材，如图．
材料三	一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下三种截法：截法一：A型1块，B型2块；截法二：A型2块，B型 $m$ 块；截法三：A型0块，B型 $n$ 块．
任务一	直接写出材料三中的 $m$ ， $n$ 的值；
任务二	公司现需要A型板材 $240$ 块，B型板材 $180$ 块．设按截法一截 $x$ 张标准板材，按截法二截 $y$ 张标准板材，按截法三截 $z$ 张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用．分别求出 $y$ 与 $x$ 和 $z$ 与 $x$ 的函数关系式；
任务三	若用 $Q$ 表示所购标准板材的张数，求 $Q$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接指出当 $x$ 取何值时 $Q$ 最小，最小值是多少？

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19、已知：在△ABC中， $B C = 5, A C = 3 \sqrt{5}, t a n ∠ B C A = 2 .$

(1)、如图1，求△ABC的面积.

(2)、如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A₁DC₁ ，使得点B与点D重合.
①连结AA₁ ， CA₁.求△AA₁C的面积.
②如图3，将△A₁DC₁绕点D旋转至△A₂DC₂ ，边A₂C₂与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求 $C E^{2} - B D^{2}$ 的最小值.

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20、已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t$ （t为常数）.

(1)、求该抛物线的对称轴.

(2)、若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + t^{2} - 10 t (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与x轴平行的直线l₁ ， l₂之间.若直线l₁ ， l₂之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.

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