相关试卷

1、计算：

(1)、 $\sqrt{9} + 2 \cos 30 ° + |\sqrt{3} - 2| + {(- 1)}^{2026}$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{a}{a - b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$ ，其中 $a, b$ 满足 $b - 2 a = 0 (a \neq 0)$ ．

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2、如图1，在正方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点．将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，使点 $A$ 落在点 $F$ 处，连接 $D F$ ，延长 $D F$ 交 $B C$ 于点 $G$ ；如图2，再将 $△ C D G$ 沿 $D G$ 折叠，此时点 $C$ 的对应点 $H$ 恰好落在 $B E$ 上．设 $△ B E F$ 和 $△ D G H$ 重叠部分的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ ．

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3、不等式组 $\{\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 < 0 \\ 2 x + 3 \geq x \end{cases}$ 的解集是．

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4、如图， $A, B$ 是动点，分别位于 $x, y$ 轴的正半轴上；四边形 $O A C B$ 是矩形，函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图像与边 $A C$ 交于点 $M$ ，与边 $B C$ 交于点 $N, M$ 与 $N$ 不重合．以下四个结论：① $△ C O M$ 与 $△ C O N$ 的面积一定相等；② $△ M O N$ 与 $△ M C N$ 的面积可能相等；③ $△ M O N$ 一定是锐角三角形；④ $△ M O N$ 可能是等边三角形．其中正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5、如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $2, P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $O P = 4, Q$ 是 $⊙ O$ 上的动点，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，连结 $O P$ ， $O M$ ，则线段 $O M$ 的最小值是（）

A、0 B、0.5 C、1 D、1.5

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6、如图，矩形 $O A B C$ 中，点 $O (0, 0), A C = 4, B O$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角为 $45 °$ ．若矩形绕点 $O$ 逆时针旋转，每秒旋转 $45 °$ ，则第2026秒时，矩形的对角线交点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

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7、如果关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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8、如图， $∠ M O N = 100 °$ ，点A在射线 $O M$ 上，以点O为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交射线 $O N$ 于点B．若分别以点A，B为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧在 $∠ M O N$ 内部交于点C，连接 $A C$ ，则 $∠ O A C$ 的大小为（）

A、 $80 °$ B、 $100 °$ C、 $110 °$ D、 $120 °$

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9、如图是我国在2025年发行的一枚纪念币，其外形为正十二边形，则这枚纪念币外边缘十二个角的大小均为（）

A、 $150 °$ B、 $145 °$ C、 $140 °$ D、 $135 °$

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10、2025年9月3日，东风 $— 5 C$ 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风 $— 5 C$ 洲际导弹的部分图片及其示意图，下列说法正确的是（）

A、主视图与俯视图相同 B、主视图与左视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三种视图都不相同

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11、综合与实践
【知识再现】我们都知道，数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做数 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$ ，因为原点表示的数是 $0$ ，所以 $|a| = |a - 0|$ ，由此可知， $|7 - (- 2)|$ 表示7与 $- 2$ 之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示 $7$ 与 $- 2$ 的两点之间的距离，所以 $|7 - (- 2)| = 9$ ；
【问题初探】阅读以下材料，并回答问题：
如图，把一根长度为 $a$ $cm$ 的木棒 $M N$ 放在一条数轴（单位长度为 $1$ $cm$ ）上，它的两端 $M$ ， $N$ 分别落在点 $A$ ， $B$ 处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点 $M$ 移动到 $B$ 处时，点 $N$ 与点 $D$ 重合，此时点 $N$ 对应的数为 $17$ ，再向左移动，当点 $N$ 移动到 $A$ 处时运动停止，点 $M$ 与点 $C$ 重合，此时点 $M$ 对应的数为 $5$ ．
（1）由此可得， $C D =$ __________ $cm$ ， $a$ 的值为__________ $cm$ ．
（2）图中点 $A$ 所表示的数是__________，点 $B$ 所表示的数是__________．
（3）若木棒 $M N$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？
【拓展应用】
（4）借助上述方法解决下列问题：
一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要 $35$ 年才出生；你若是我现在这么大，我已经是 $109$ 岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路．

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12、已知：在 $⊙ O$ 中，点 $E$ 是弦 $B D$ 上的动点（不与点 $B$ ， $D$ 重合），过点 $E$ 作 $A C ⊥ B D$ 交 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $C$ ，连接 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ．

(1)、如图1，若 $B F$ 经过点 $O$ ．
①求证： $B G = B C$ ．
②若 $tan ∠ G A F = \frac{1}{2}$ ， $A G = \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

(2)、如图2，若 $A C = B D$ ，设 $\frac{A G}{G E} = x$ ， $\frac{B E}{B D} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

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13、已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a + 1) x + 2$ （常数 $a \neq 0$ ）．

(1)、当 $a = 1$ 时，求该二次函数图象的顶点坐标．

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得对于任意实数 $t$ ，当 $x$ 取 $2 + t$ 和 $2 - t$ 时，对应的函数值始终相等？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3)、当 $1 < x < 2$ 时，若 $y > x$ 始终成立，求 $a$ 的取值范围．

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14、如图， $⊙ O$ 的周长为4厘米， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点 $P$ 出发1秒后，动点 $Q$ 也从 $A$ 点出发，以 $v$ 厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 $P$ 运动 $t$ 秒时，点 $P$ ， $Q$ 与点 $A$ 间的劣弧（或半圆）长分别记为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $t$ 的函数图象如图2所示．

(1)、试确定动点 $Q$ 的速度 $v$ ．

(2)、当 $2 \leq t \leq 4$ 时，求 $y_{1}$ 关于 $t$ 的一次函数表达式，并求出当 $t = \frac{5}{2}$ 时， $y_{1}$ 的值．

(3)、若图2中的点 $C$ 为两个函数图象的交点，求点 $C$ 的坐标，并求此时点 $P$ ，点 $Q$ 间的劣弧长．

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15、某校九年级（一）班、（二）班全体同学都参加了校园科技知识竞赛．现从九（一）班、九（二）班各随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，并把九（二）班的竞赛成绩分成A，B，C，D四组，每组范围如下（ $x$ 表示分值）：A． $90 \leq x \leq 100$ ；B． $80 \leq x < 90$ ；C． $70 \leq x < 80$ ；D． $60 \leq x < 70$ ，还制作了如图所示的九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图（不完整）．
【数据呈现】
九（一）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩（单位：分）：
65，70，73，75，81，85，85，85，90，91．
九（二）班随机抽取的10名学生中 $B$ 等级学生的竞赛成绩（单位：分）：
80，80，82，83．
【分析数据】
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分 $^{2}$ ）
九（一）班
80
$a$
$b$
$69.6$
九（二）班
80
81
80
92
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ______， $b =$ ______， $m =$ ______．

(2)、说明“九（二）班随机抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数是81分”的理由．

(3)、已知九（一）班有45名学生，九（二）班有50名学生，若本次竞赛成绩在90分及90分以上的学生都获奖，请估计这两个班级本次竞赛获奖学生的总人数．

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16、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A D$ 边于点 $E$ ， $A F$ 是 $B C$ 边上的高，垂足为 $F$ ，交 $B E$ 于点 $G$ ．已知 $∠ A B E = 30 °$ ．

(1)、求 $∠ A G E$ 的度数．

(2)、若 $B F = 3$ ， $F C = 4$ ，求 $D E$ 的长度．

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17、小王的解题过程如下：

先化简，再求值： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a + 2}$ ，其中 $a = - 1$ ．

解：原式 $= \frac{2 a}{(a + 2) (a - 2)} - \frac{a - 2}{(a + 2) (a - 2)}$ …………①

$= 2 a - (a - 2)$ …………②

$= a + 2$ …………③

当 $a = - 1$ 时，原式 $= a + 2 = - 1 + 2 = 1$ ．

(1)、请指出首次出现错误的步骤序号：______．

(2)、写出正确的解答过程．

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18、化简、解方程

(1)、 $m (2 - m) + {(m - 1)}^{2}$ ．

(2)、 $2 x^{2} - 3 x = 0$ ．

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19、已知点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 都在双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 上，且 $x_{1} - x_{2} = 3$ ，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $x_{1}$ 的取值范围是．

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20、一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的 $1.5$ 倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共 $30 g$ ．设蛋白质、脂肪的含量分别为 $x (g)$ ， $y (g)$ ，则 $y$ 与 $x$ 的关系式为．

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班级	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）	方差（分 $^{2}$ ）
九（一）班	80	$a$	$b$	$69.6$
九（二）班	80	81	80	92