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1、【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 $2 \div 2 \div 2 ， (- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等．类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2_{3}$ ，读作“2的下3次方”； $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 记作 ${(- 3)}_{4}$ ，读作“ $- 3$ 的下4次方”．一般地，把 $a \div a \div a \div \dots \div a$ （ $n$ 个 $a ， a \neq 0 ， n$ 为大于等于2的整数）记作 $a_{n}$ ，读作“ $a$ 的下 $n$ 次方”．
（1）直接写出计算结果： $3_{4} =$ ______； ${(\frac{1}{3})}_{4} =$ ______；
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如： $2_{4} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ ．
（2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）：
$2_{7} =$ ______， ${(- \frac{1}{3})}_{8} =$ ______；
【结论应用】（3）计算： ${(- 4)}^{2} \times {(- 2)}_{6} - {(- \frac{1}{3})}_{6} \div 3^{3}$ ．

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2、解方程：

(1)、 $x - 1 = 2 (x + 1)$ ；

(2)、 $\frac{5 x - 7}{6} = 1 - \frac{3 x - 1}{4}$ ．

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3、国家倡导全民阅读，小慧同学坚持阅读，她每天以阅读 $35$ 分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．她最近从周一到周日的阅读情况记录依次为（单位：分钟）： $+ 8$ ， $+ 3$ ， $- 7$ ， $+ 2$ ， $- 4$ ， $+ 13$ ， $+ 6$ ．请回答下列问题：

(1)、小慧哪一天阅读时间最长，阅读了多少分钟？

(2)、小慧这周平均每天阅读的时间是多少分钟？

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4、（1）计算： $3 (- a^{2} b + 2 a b^{2}) - 2 (3 a b^{2} - a^{2} b)$ ；
（2）先化简，再求值： $- 2 x^{2} - \frac{1}{3} [3 y^{2} - 2 (\frac{3}{2} x^{2} - 3 y^{2}) + 6]$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - \frac{1}{3}$ ．

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5、计算：

(1)、 $(- 3) - (- 18) - (+ 11) + (- 2)$ ；

(2)、 $- 1^{2026} + (- 1) \div \frac{1}{4} + |1 - 4|$ ．

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6、如图，图①和图②是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入六个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多5，记图①中阴影区域周长为 $C_{1}$ ，图②中阴影区域周长为 $C_{2}$ ，则 $C_{1} - C_{2} =$ ．

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7、如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内的一条射线，且 $∠ B O C : ∠ A O C = 4 : 1$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ C O D = 42 °$ ，则 $∠ A O B =$ $°$ ．

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8、已知当 $x = 1$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 1$ 的值为 $- 2026$ ，则当 $x = - 1$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 1$ 的值是．

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9、已知 $4 - a$ 与 $2 - a$ 互为相反数，那么 $a =$ ．

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10、据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年国庆中秋双节期间，国内游客出游8.88亿人次，将数据 $8.88$ 亿用科学记数法表示为．

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11、请你写出一个绝对值等于本身的数

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12、如图， $C ， D$ 在直线 $B E$ 上，下列说法：①直线 $B E$ 上以 $B 、 C 、 D 、 E$ 为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若 $∠ B A E = 100 °$ ， $∠ C A D = 40 °$ ，则 $∠ B A D + ∠ C A E = 140 °$ ；④若 $B C = 4$ ， $C D = D E = 5$ ，点 $F$ 是线段 $B E$ 上任意一点（包含端点），则点 $F$ 到点 $B 、 C 、 D 、 E$ 的距离之和最大值为29，最小值为19，其中说法正确的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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13、如图，数轴上的 $A ， B ， C$ 三点所表示的数分别为 $x ， x + y ， y$ ，若 $A B > B C$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x + y < 0$ B、 $x y > 0$ C、 $|x| - y > 0$ D、 $|x| - |y| < 0$

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14、进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数 ${(1101)}_{2}$ 可转化为十进制数 $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13 = 1 \times 10^{1} + 3 \times 10^{0}$ （规定当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ），则二进制数 ${(1010110)}_{2}$ 转化为八进制数可以表示为（）

A、 ${(126)}_{8}$ B、 ${(162)}_{8}$ C、 ${(260)}_{8}$ D、 ${(621)}_{8}$

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15、观察下列单项式： $x, - 4 x^{2}, 9 x^{3}, - 16 x^{4}, 25 x^{5}, \dots$ ，按此规律，可以得到第2026个单项式是（）

A、 $2026 x^{2026}$ B、 $- 2026 x^{2026}$ C、 $2026^{2} x^{2026}$ D、 $- 2026^{2} x^{2026}$

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16、指南针是野外生存的必备工具之一．若指南针上的定向箭头指向南偏东 $26 °$ （如图），现把定向箭头绕着点 $O$ 按顺时针方向旋转 $180 °$ ，此时定向箭头的指向是（）

A、北偏西 $64 °$ B、北偏东 $64 °$ C、北偏西 $26 °$ D、北偏东 $26 °$

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17、列式表示“比 $a$ 的平方的3倍小 $b$ 的数”是（）

A、 ${(3 a)}^{2} - b$ B、 $3 a^{2} - b$ C、 $3 {(a - b)}^{2}$ D、 ${(3 a - b)}^{2}$

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18、下列温度中，比 $- 3 ° C$ 低的温度是（）

A、 $- 5 ° C$ B、 $- 2 ° C$ C、 $0 ° C$ D、 $2 ° C$

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19、某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点 $F$ 处竖立标杆 $E F$ ，直立在点 $Q$ 处的小军从点 $P$ 处看到标杆顶 $E$ 、旗杆顶 $M$ 在同一条直线上．已知旗杆底端 $N$ 与 $F$ 、 $Q$ 在同一条直线上， $E F = 2.8 m$ ， $P Q = 1.4 m ， Q F = 2 m ， F N = 16 m$ ．
（1）求旗杆 $M N$ 的高度．
活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶 $A$ 和塔底中心 $B$ 均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点 $F$ 处竖立标杆 $E F$ ，直立在点 $Q$ 处的小军从点 $P$ 处看到标杆顶 $E$ 、塔顶 $A$ 在同一条直线上．小军沿 $F Q$ 的方向走到点 $Q^{'}$ 处，此时标杆 $E^{'} F^{'}$ 竖立于 $F^{'}$ 处，从点 $P^{'}$ 处看到标杆顶 $E^{'}$ 、塔顶 $A$ 在同一条直线上．已知 $A B 、 E F$ 、 $P Q 、 E^{'} F^{'}$ 和 $P^{'} Q^{'}$ 在同一平面内，点 $B 、 F 、 Q 、 F^{'} 、 Q^{'}$ 在同一条直线上， $E F = E^{'} F^{'} = 2.8 m ， P Q = P^{'} Q^{'} = 1.4 m$ ， $F Q = 1.2 m ， F^{'} Q^{'} = 2.2 m ， Q Q^{'} = 30 m$ ．
（2）求妙光塔 $A B$ 的高度．

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20、实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻 $R_{2}$ 来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中 $R = R_{1} + R_{2}$ ，已知 $R_{1} = 5 Ω$ ，实验测得当 $R_{2} = 10 Ω$ 时， $I = 0.6 A$ ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在 $300 - 750 lux$ 之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式；
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定 $R_{2}$ 的取值范围．

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