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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 \sqrt{2}, b = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (t + 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3、如图，已知在圆柱 $O O_{1}$ 中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段 $B C$ 为圆O的直径， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 为圆柱上底面上的两点，且矩形 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， D，E分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $△ B_{1} B C$ 是等腰直角三角形，且 $D E ⊥$ 平面 $C B B_{1}$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C$ 的夹角的正弦值．

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4、已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $T$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = \frac{4 b^{2}}{3}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆 $T$ 的离心率 $e =$ ．

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5、将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为．

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6、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，若把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上有2个零点

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7、已知在正四面体 $O A B C$ 中， $O A = 1$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8、某城市运动会的组委会安排甲､乙等5名志愿者去足球､篮球､排球､乒乓球4个比赛场馆从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则不同的方案种数为（）

A、48 B、52 C、60 D、68

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9、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、10 D、3

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = {(- 1)}^{n} + \cos \frac{n π}{3}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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11、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ 、 $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点.若直线 $P Q$ 、 $P F$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率为.

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12、已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是．

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13、幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是 $7.6$ ， $8.5$ ， $7.8$ ， $9.2$ ， $8.1$ ， $9$ ， $7.9$ ， $9.5$ ， $8.3$ ， $8.8$ ， $6.9$ ， $9.4$ ，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是.

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14、第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级 $K_{n} (n \in N^{*})$ 角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为 $60 °$ ），则n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的开三角个数为， n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的内角和为．

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15、某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．

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16、已知复数 $z = a - 1 + (a + 3) i$ ， $a \in R$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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17、甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $q_{n}$ ，则 $p_{2} =$ ， $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) =$ .（用 $n$ 表示）

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $A C = B D$ .则 $△ A B C$ 的面积为.

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19、设集合 $A$ 是至少有两个元素的实数集，集合 $F (A) = \{z| z = x y, x, y \in A$ 且 $x \neq y\}$ ，称集合 $F (A)$ 为集合 $A$ 的积集．

(1)、当 $A = \{1, 2, 4, 8, 32\}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $F (A)$ ；

(2)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个正实数构成的集合，求其积集 $F (A)$ 中元素个数的最小值；

(3)、若 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}$ 是由4个有理数构成的集合，积集 $F (A) = \{- 18, - 2, - \frac{3}{2}, - \frac{1}{6}, 1, 3\}$ ，求集合 $A$ 中的所有元素之和．

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20、已知函数 $f (x) = x |2 a - x| + b x, a \in R$ ．

(1)、当 $b = - 2$ 时，若函数 $f (x)$ 恰有两个不同的零点，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = 2$ 时，若存在实数 $a \in [0, 2]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (2 a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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