湖南省湘潭市第二中学2024-2025学年高三下学期百校期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-05-09 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 在复平面内，复数 $z = \frac{5 i}{1 - 2 i}$ 对应的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, i)$ D、 $(2, - i)$

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2. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x < 0, \\ e^{x} + ln (x + 1), x \geq 0, \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 已知集合 $A = \{(x, y) |\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} \leq 1, x \in Z, y \in Z\}$ ，则A中元素的个数为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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4. 空气膜等厚干涉是一个有趣的光学现象，如左图所示，当一块玻璃在另一块平板玻璃上方时，让光线垂直照射就会出现明暗相间的条纹.同一条纹上两玻璃之间的空气间隙厚度一致.现有一圆锥形玻璃，底面周长为24 $π$ ，母线长为13.将其顶点朝下放置于平板玻璃上，并且使得底面与平板玻璃的夹角 $α$ 近似满足sin $α$ = $\frac{4}{13}$ ，用光垂直照射，则得到的条纹形状为（）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆

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5. 运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（）

A、32种 B、24种 C、18种 D、12种

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6. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，在公共定义域内，下列结论正确的是（）

A、 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立 B、 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立 C、 $f (x) \cdot g (x) \geq 0$ 恒成立 D、 $f (x) \cdot g (x) \leq 0$ 恒成立

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7. 已知函数 $f (x) = |sin (x + \frac{π}{6})| + |sin (x - \frac{π}{3})|$ ，则 $f (x)$ 图象的对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$ B、 $x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{3}$ ， $k \in Z$ C、 $x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{6}$ ， $k \in Z$ D、 $x = \frac{k π}{4} - \frac{π}{12}$ ， $k \in Z$

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8. 设 $O$ 为坐标原点， $F$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点，圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 与 $C$ 的渐近线在第一象限的交点为 $M$ ，若 $∠ F M O = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知点 $P (2, 2)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 18$ ，则（）

A、点 $P$ 在 $C$ 内 B、点 $P$ 与 $C$ 上的点之间的最大距离为 $6 \sqrt{2}$ C、以点 $P$ 为中点的弦所在直线的方程为 $x + y - 4 = 0$ D、过点 $P$ 的直线被 $C$ 截得弦长的最小值为 $\sqrt{10}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ， $M$ 是 $C$ 上位于第二象限内一点， $O$ 为坐标原点， $|O M| = 1$ . $P$ 为 $O F_{1}$ 上一点，且 $∠ F_{1} M P = ∠ P M F_{2}$ ，点 $A$ 为 $M F_{1}$ 的中点， $O A$ 与 $M P$ 交于点 $N$ ，且 $|O N| = \frac{1}{2} b$ ，则（）

A、点 $M$ 在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上 B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ C、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{5 x^{2}}{9} + \frac{5 y^{2}}{4} = 1$ D、 $|O P| = \frac{1}{3}$

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11. 设函数 $f (x) = \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{3}{2}$ ， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，则（）

A、 $x_{2} = \frac{13}{12}$ B、 $f (x_{n}) + f (\frac{1}{x_{n}})$ 为定值 C、数列 $\{\frac{x_{n} + 1}{x_{n} - 1}\}$ 为等比数列 D、 $x_{n} < 1 + \frac{1}{5^{n - 1}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，若 $P (X \leq a) = 0.3$ ，则 $a =$ .

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13. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - β) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\tan α \tan β = 3$ ，则 $\cos (α + β) =$ .

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14. 已知棱长为 $a$ 的正四面体 $P - A B C$ ，且 $\vec{A M} = \frac{7}{9} \vec{A B}$ ， $Q$ 为侧面 $P B C$ 内的一动点，若 $Q M = \frac{\sqrt{7}}{3} Q B$ ，则点 $Q$ 的轨迹长为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a cos C + b = 0$ ， $b = \frac{\sqrt{2}}{4} c$ ．

(1)、求 $cos C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点，且 $∠ A D B = \frac{3π}{4}$ ，求 $C D$ 的长．

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16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，中奖与否互不影响.

(1)、已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？

(2)、若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.

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17. 已知函数 $f (x) = k x^{2} - (k + 2) x - ln \frac{2}{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、当 $k > 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $k = 2$ 时，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若函数 $f (x)$ 图象上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线 $f (x)$ 在点 $B$ 处的切线斜率与 $A$ ， $C$ 两点连线斜率的大小关系．

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18. 如图， $△ A B C$ ， $△ D B C$ ， $△ E B C$ 都是等边三角形，点D，E分别在平面 $A B C$ 的上方和下方，点 $O$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证：A，D，O，E四点共面；

(2)、若 $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $O E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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19. 对于椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的任意两点P，Q定义“ $\oplus$ ”运算满足：过点 $S (1, \frac{3}{2})$ 作直线 $l / /$ 直线 $P Q$ （规定当P和Q相同时，直线 $P Q$ 就是 $Γ$ 在点P处的切线），若l与 $Γ$ 有异于S的交点T，则 $P \oplus Q = T$ ；否则 $P \oplus Q = S$ .已知“ $\oplus$ ”满足交换律和结合律，记 $P_{n} = \underset{n 个}{\underset{}{P \oplus P \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P}}$ .

(1)、若 $P (2, 0)$ ， $Q (- 1, - \frac{3}{2})$ ，求 $P \oplus Q$ ， $P_{2}$ 以及 $P_{2025}$ ；

(2)、对于 $Γ$ 上的四点 $P (2 \cos 2 θ, \sqrt{3} \sin 2 θ)$ ， $Q (2 \cos 2 φ, \sqrt{3} \sin 2 φ)$ ， $M (2 \cos 2 α, \sqrt{3} \sin 2 α)$ ， $N (2 \cos 2 β, \sqrt{3} \sin 2 β)$ ，求证： $\vec{P Q} / / \vec{M N}$ 的充要条件是 $α + β = θ + φ + k π (k \in Z)$ ；

(3)、是否存在异于S的点P，使得 $P_{4} = S$ ？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

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