浙江省嘉兴市2025届高三下学期4月教学测试数学试题

试卷更新日期：2025-04-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $\frac{1 - 2 i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 关于 $x$ 的不等式 $e^{\log_{2} x} > 1$ 的解集为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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3. 在 $△ O A B$ 所在平面内，点 $C$ 满足 $\vec{A B} = 3 \vec{B C}$ ，记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{O C} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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4. “ $m \geq 0$ ”是“圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + m = 0$ 不经过第三象限”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若某正四面体的内切球的表面积为 $4 π$ ，则该正四面体的外接球的体积为（）

A、 $9 π$ B、 $27 π$ C、 $36 π$ D、 $64 π$

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6. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，其准线为 $l$ ，焦点为 $F$ ，过 $M (3, 0)$ 的直线 $P Q$ 与 $l$ 和 $C$ 从左到右依次相交于 $A$ ， $P$ ， $Q$ 三点，且 $| F Q | = 10$ ，则 $△ F A P$ 和 $△ F A Q$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1) = 1$ ， $f (x) = f (3 - x)$ ， $f (x) + f (x + 3) = f (2025)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（）

A、 $\frac{31}{96}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{64}$ D、 $\frac{23}{64}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、残差的平方和越小，模型的拟合效果越好 B、若随机变量 $X ~ B (3, \frac{2}{3})$ ，则 $D (X + \frac{1}{3}) = 1$ C、数据 $2$ ， $3$ ， $5$ ， $8$ ， $13$ ， $21$ ， $34$ 的第80百分位数是21 D、一组数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的平均数为 $a$ ，若再插入一个数 $a$ ，则这 $n + 1$ 个数的方差不变

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10. 已知 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[k π - \frac{5 π}{12}, k π + \frac{π}{12}] (k \in Z)$ 上单调递增 B、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 关于原点对称 C、若 $f (x + φ)$ 是偶函数，则 $φ = \frac{k π}{2} + \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、若 $f (ω x) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上恰有3个零点，则 $ω \in [\frac{4}{3}, \frac{11}{6})$

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11. 用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要 $n$ 笔，则该多面体称为 $n$ 笔画多面体.那么下列说法正确的是（）

A、五棱锥是3笔画多面体 B、正方体是4笔画多面体 C、 $n$ 棱锥是 $n - 2$ 笔画多面体 D、 $n$ 棱柱是 $n$ 笔画多面体

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为.

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13. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C + b \sin C = a + c$ ，则 $B =$ .

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14. 设函数 $f (x) = \ln x + a x (a > 0)$ ，若方程 $f (f (x)) = x$ 在区间 $[2, 4]$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2 \ln x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 4]$ 上的最大值.

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16. 如图，在边长为2的正三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P E ⊥ A E$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值.

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17. 记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n} - a_{n + 1}, & n 为奇数 \\ a_{n} + a_{n + 1}, & n 为偶数 \end{cases}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \geq 10 n + λ$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ .过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 分别交 $C$ 的左、右两支于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $|A F_{1}| \cdot |B F_{1}| = | A B |^{2}$ .

(1)、求 $\frac{y_{1}}{y_{2}}$ 的值；

(2)、求 $e$ 的取值范围；

(3)、若 $e = 3$ ，证明： $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ .

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19. 记集合 $A$ ， $B$ 为集合 $S = {1, 2, 3, \dots, n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的两个子集，且满足 $A \cup B = S$ ， $A \cap B = \emptyset$ .定义： $f (A, B) = |\sum_{a \in A} a - \sum_{b \in B} b|$ （ $\sum_{a \in A} a$ ， $\sum_{b \in B} b$ 分别表示集合 $A$ ， $B$ 中所有元素的和）.

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $f (A, B)$ 的所有可能的值；

(2)、求 $f (A, B)$ 的最小值；

(3)、设 $k$ 为不超过 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的自然数，且 $k$ 与 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的奇偶性相同，证明：存在 $A$ ， $B$ ，使得 $f (A, B) = k$ .

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