浙江省金兰合作组织2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-04-24 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知 $C_{n}^{2} = 28$ （ $n \in N$ ，且 $n \geq 2$ ），则 $A_{n}^{2}$ 的值为（）

A、30 B、42 C、56 D、72

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2. 根据一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{10}, y_{10})$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.1 x + \hat{a}$ ，已知 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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3. 设 $X ～ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y ～ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，这两个变量的正态曲线如图所示，则（）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ B、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$ C、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ D、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$

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4. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（）

A、60种 B、80种 C、90种 D、100种

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5. 若 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ 的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）

A、奇数项的二项式系数和为 $2^{9}$ B、所有奇数项的系数和为 $- 2^{9}$ C、第6项的系数最大 D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 2^{10}$

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6. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
$- 1$
$P$
$a$
$b$
$c$
其中满足 $a = b + c$ ，则 $D (X)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）

A、 $\frac{144}{625}$ B、 $\frac{64}{125}$ C、 $\frac{9}{64}$ D、 $\frac{3}{64}$

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8. 某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占 $p % (0 < p < 100)$ ．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个 $p$ 值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（）
（参考数据： $lg 0.794 \approx - 0.1$ ）

A、18 B、22 C、26 D、30

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法中错误的有（）

A、相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 B、决定系数 $R^{2}$ 越接近1，表明模型的拟合效果越好 C、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{2}{3}$ ，则 $E (3 X + 2) = 3$ ， $D (3 X + 2) = 4$ D、随机变量 $X ～ N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 5) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 1) = 0.3$

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10. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）

A、从第2行起，第 $n$ 行的第 $r (r \leq n)$ 个位置的数是 $C_{n}^{r - 1}$ B、记第 $n + 1$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$ C、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{10} = 55$ D、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$

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11. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）

A、2次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{1}{2}$ B、3次传球后球在乙手上的概率是 $\frac{1}{3}$ C、4次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{3}{8}$ D、2025次传球后球在甲手上的概率小于 $\frac{1}{3}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12. 在 ${(3 x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为．

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13. 设随机事件 $A, B$ ，已知 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.3$ ， $P (A \cap B) = 0.1$ ，则 $P (B |A) =$ ．

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14. 某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量 $Z$ （克）分为4级： $Z > 20$ 的为 $A$ 级， $18 < Z \leq 20$ 的为 $B$ 级， $16 < Z \leq 18$ 的为 $C$ 级， $14 < Z \leq 16$ 的为 $D$ 级， $Z \leq 14$ 的为废果．将 $A$ 级与 $B$ 级果称为优等果．已知蓝莓果重量 $Z$ 可近似服从正态分布 $N (15, 9)$ ．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为 $p$ （精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过 $n$ 次，若抽查次数 $X$ 的期望值不超过3，则 $n$ 的最大值为．
参考数据：若 $X ～ N (μ, σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码 $(t)$
1
2
3
4
5
交易额 $y$ （单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15

(1)、据上表数据，计算 $y$ 与 $t$ 的相关系数 $r$ （精确到0.01），并说明 $y$ 与 $t$ 的线性相关性的强弱；（若 $0.75 < |r| < 1$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性很强；若 $0.3 < |r| \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性一般；若 $|r| \leq 0.3$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性较弱．）

(2)、利用最小二乘法建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 33$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 127.5$ ， $\sqrt{51} \approx 7.14$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

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16. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中所有的有理项．

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17. 北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．

(1)、若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）

(2)、若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）

(3)、若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）

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18. DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题．

(1)、求小张能全部回答正确的概率；

(2)、求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；

(3)、设小张和DeepSeek答对的题数分别为 $X$ 和 $Y$ ，求 $X$ 的分布列，并比较 $X$ 与 $Y$ 的期望大小．

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19. 乒乓球比赛一般有两种赛制：“5局3胜制”和“7局4胜制”．“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

(1)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，经统计在某个赛季的所有比赛中，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值 $α = 0.100$ 的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜的场数有影响.
甲获胜场数
乙获胜场数
5局3胜
8
10
7局4胜
1
合计
20

(2)、若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为 $p$ ，没有平局．记事件 $A$ 为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件 $B$ 为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明： $P (A) = P (B)$ ．

(3)、甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 $p (p > 0.5)$ ，没有平局．若采用“赛满 $(2 n - 1)$ 局，胜方至少取得 $n$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n)$ .若采用“赛满 $(2 n + 1)$ 局，胜方至少取得 $(n + 1)$ 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 $P (n + 1)$ ，试比较 $P (n)$ 与 $P (n + 1)$ 的大小．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码 $(t)$	1	2	3	4	5
交易额 $y$ （单位：百亿）	1.5	2	3.5	8	15

$X$	0	1	$- 1$
$P$	$a$	$b$	$c$

	甲获胜场数	乙获胜场数
5局3胜	8		10
7局4胜		1
合计			20

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828