广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题

试卷更新日期：2025-04-28 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $(3 + 4 i) (3 - 4 i) =$ （）

A、 $- 25$ B、25 C、 $- 5$ D、5

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2. 已知集合 $A = \{x| 2 \leq x < 7\}$ ， $B = \{x| 3 < x < 10\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| 2 \leq x < 7\}$ B、 $\{x| 2 \leq x < 10\}$ C、 $\{x| 3 < x < 7\}$ D、 $\{x| 3 < x < 10\}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C： $\frac{|x|}{4} + \frac{|y|}{3} = 1$ 的周长为（）

A、12 B、14 C、16 D、20

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5. 若 $α + β = \frac{5 π}{4} (α \neq \frac{π}{2} + k π, β \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z)$ ，则 $(1 + \tan α) (1 + \tan β) =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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6. 学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} - 1} (a \in R)$ ，命题p： $f (x)$ 是奇函数，命题q： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知球O的表面积为 $12 π$ ，球面上有A，B，C，D四点， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 与平面 $A B C$ 所成的角均为 $\frac{π}{4}$ ，若 $△ A B C$ 是正三角形，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{3 + \cos 2 x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、最小正周期为 $π$ B、是奇函数 C、在 $[0, π]$ 上单调递增 D、最大值为1

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10. 市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
分数
名次（按高分到低分排名）
甲产品
75
4
乙产品
66
6
则在此次抽查评分中（）

A、9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数 B、9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数 C、9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上） D、9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）

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11. 圆C过抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点 $A (1, 2)$ 、 $B (4, - 4)$ ，则（）

A、圆C面积的最小值为 $\frac{45}{4} π$ B、圆C与抛物线 $Γ$ 的公共点个数为2或4 C、若圆C与抛物线 $Γ$ 还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D、若圆C与抛物线 $Γ$ 还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题.

12. 焦点分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ 且经过点 $(2, 3)$ 的双曲线的标准方程为.

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13. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 6$ ，则 $A C =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x + 1}, x \leq 0, \\ \sqrt{2} \sin x, 0 < x \leq π \end{array}$ ，若 $y = f (x) - a (a \in R)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则实数a的取值范围为；若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{a}{x} (x > 0, a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1, 0)$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 也相切，求a；

(2)、若 $f (x)$ 图象恒在 $g (x)$ 图象的上方，求a的取值范围.

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16. 如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体 $A B C D A_{1} C_{1} D_{1}$ ， E是 $B C_{1}$ 的中点.过点C，E， $D_{1}$ 的平面 $α$ 与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)、在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；

(2)、求平面 $α$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的夹角的余弦值.

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17. 因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为 $0.95$ ，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.

(1)、求该次航班不会发生赔偿事件的概率；

(2)、航空公司在该次航班的收入记为Y，求 $E (Y)$ .
参考数据：若 $X ~ B (200, 0.05)$ ，则X的分布列部分数据的近似值如下：
X
0
1
2
3
4
5
6
…
P
0
0
0.002
0.007
0.017
0.036
0.061
…

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18. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $a_{i}$ 和 $b_{i}$ 是下表第i行中的数（ $i = 1, 2, 3$ ），且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 中的任何两个数不在同一列， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ 中的任何两个数也不在同一列.

第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
5
6
7
8
第三行
9
10
11
12

(1)、请问满足题意的数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 的公比为整数，且 $a_{1} + b_{1} = 6$ .数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} c_{n} + (a_{n} - 3) b_{n + 1} = 0$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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19. 对于椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的任意两点P，Q定义“ $\oplus$ ”运算满足：过点 $S (1, \frac{3}{2})$ 作直线 $l / /$ 直线 $P Q$ （规定当P和Q相同时，直线 $P Q$ 就是 $Γ$ 在点P处的切线），若l与 $Γ$ 有异于S的交点T，则 $P \oplus Q = T$ ；否则 $P \oplus Q = S$ .已知“ $\oplus$ ”满足交换律和结合律，记 $P_{n} = \underset{n 个}{\underset{}{P \oplus P \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P}}$ .

(1)、若 $P (2, 0)$ ， $Q (- 1, - \frac{3}{2})$ ，求 $P \oplus Q$ ， $P_{2}$ 以及 $P_{2025}$ ；

(2)、对于 $Γ$ 上的四点 $P (2 \cos 2 θ, \sqrt{3} \sin 2 θ)$ ， $Q (2 \cos 2 φ, \sqrt{3} \sin 2 φ)$ ， $M (2 \cos 2 α, \sqrt{3} \sin 2 α)$ ， $N (2 \cos 2 β, \sqrt{3} \sin 2 β)$ ，求证： $\vec{P Q} / / \vec{M N}$ 的充要条件是 $α + β = θ + φ + k π (k \in Z)$ ；

(3)、是否存在异于S的点P，使得 $P_{4} = S$ ？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

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	分数	名次（按高分到低分排名）
甲产品	75	4
乙产品	66	6

	第一列	第二列	第三列	第四列
第一行	1	2	3	4
第二行	5	6	7	8
第三行	9	10	11	12

X	0	1	2	3	4	5	6	…
P	0	0	0.002	0.007	0.017	0.036	0.061	…