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相关试卷

1、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A C = 2 C D = 4$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ B C D = 135 °$ ，若平面四边形 $A B C D$ 绕 $C D$ 旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{40 π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $8 π$

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ， ”是“ $\{a_{n}\}$ 是递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若直线 $y = k x - 1$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $e$

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4、已知集合 $A = \{x |1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |x < a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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5、在复平面内，复数 $z$ 与 $\frac{2}{1 - i}$ 对应的点关于实轴对称，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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6、在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数 $y = f (x)$ 描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为： $k = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ ．
其中， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + a)$ ，定义在区间 $x \in [0, 2]$ 上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定其聚焦能力．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的曲率k；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，对于任意的 $x \in [0, 2]$ ，若 $f (x) \geq a - 1$ 恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意 $x \in [0, 2]$ ，曲率 $k (x)$ 满足不等式 $0 \leq k (x) \leq 2$ ，并解释其光学意义．（参考数据： $\sqrt{41} \approx 6.403$ ）

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7、为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．

(1)、每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？

(2)、如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？

(3)、若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？

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8、如图，在圆锥 $P O$ 中，底面圆 $O$ 的直径 $A B = 12$ ，母线 $A P = 3 \sqrt{13}$ ，若点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上靠近点 $B$ 的三等分点， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $B C //$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $P O D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值．

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9、已知函数 $f (x) = a x + \ln x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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10、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，它的二项式系数之和为64．

(1)、求n的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值．

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11、罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为， 405表示为）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为．

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12、若函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (3 x) - f (0)}{x} =$ ．

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13、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有一个交点 B、函数 $y = g (f (x))$ 在其定义域上单调递增 C、若方程 $f (x) - g (x) = k$ 有实数根，则 $k \geq 0$ D、 $f (2025) < \sum_{n = 1}^{2024} \frac{1}{n} (n \in N^{*})$

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15、北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（）

A、若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法 B、若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法 C、若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法 D、若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法

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16、已知公差为 $1$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{9} = 10$ B、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前100项和为100 D、 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前10项和为 $\frac{5}{12}$

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17、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (- 3) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

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18、化简 $C_{n}^{n - 1} + 2 C_{n}^{n - 2} + 4 C_{n}^{n - 3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{0}$ ，其结果等于（）

A、 $\frac{3^{n} - 1}{2}$ B、 $\frac{3^{n} - 2}{2}$ C、 $\frac{2^{n} - 1}{3}$ D、 $\frac{2^{n} - 2}{3}$

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19、定义域为 $R$ 的可导函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是一个偶函数 B、在区间 $(x_{1}, x_{2})$ 内，函数 $f (x)$ 的单调性为先减再增 C、函数 $f (x)$ 至少有五个零点 D、函数 $f (x)$ 有两个极大值

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20、与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有公共焦点，且离心率 $e = \frac{4}{3}$ 的双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1$

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数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9
形式	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ	Ⅸ