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相关试卷

1、已知集合 $M = {x ∣ 0 < x < a}, N = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 < 0\}$ ，若 $N \cup M = M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[5, + \infty)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + \frac{1}{a_{n - 1}} = 2$ ，且 $a_{1} = \frac{3}{2}$ . $\{b_{n}\}$ 为等差数列，其前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，有 $S_{b_{n}} = 4 n^{2} - 22 n + t$ ．

(1)、设 $c_{n} = b_{\frac{1}{a_{n} - 1}}$ ．
（i）求 $t$ ，并证明 $\{c_{n}\}$ 为等差数列．
（ii）在 $c_{n}$ 的前5项中随机取3项，设其小于 $5$ 的项数为X．求X的分布列与数学期望．

(2)、证明： $2 \cdot e^{a_{1}} \cdot e^{a_{2}} \cdot e^{a_{3}} \dots \cdot \cdot e^{a_{n}} > (n + 2) e^{n}$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{n}}{n} - \frac{1}{n} (n > 0, x > 0)$ ．

(1)、设 $n = \frac{1}{2}$ ，
（i）证明： $lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x) = f (x) + f^{'} (x) \cdot Δ x$ ，并由此求 $f (\frac{20000 + π}{5000})$ (精确到 $0.000001$ )．
（ii）比较 $f (x)$ 与 $g (x) = ln (x)$ 的大小并说明理由．

(2)、求证：当 $n$ 趋于0时， $f (x) \approx ln (x)$ ．

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4、在四面体 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C D = A D = 1$ ，

(1)、证明： $B D ⊥ A C$ ．

(2)、求四面体 $A - B C D$ 体积的最大值．

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5、已知 $f (x) = \sqrt{x + 2}$ ，定义 $f_{(1)} (x) = f (x)$ ， $f_{(2)} (x) = f (f (x))$ ， $f_{(3)} (x) = f (f (f (x)))$ ， $\dots$ ，以此类推．记 $2^{n} \cdot \sqrt{2 - f_{(n)} (\sqrt{3})}$ 为 $(*)$ ，当 $n$ 趋向于 $+ \infty$ 时， $(*)$ 趋向于．

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6、在椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 内有一点 $P (1, 1)$ ．过P作直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，分别与Γ交于A，C与B，D．且 $|P A| |P D| = |P B| |P C|$ ．若直线CD的斜率恒为 $k (k \in (- 1, 0))$ ，则Γ的离心率为． (用k表示)

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7、甲乙丙丁等二十人排队，并从左至右依次编号1～20．甲乙丙丁所对应的编号为a，b，c，d．则满足c＞b＞a＞d的概率为．

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8、已知曲线 $C : A \sin (k x + m y) = m x - k y$ ，满足 $k, m > 0, A \in (- 2, 2)$ 且 $A \neq 0$ ．则下列说法正确的是（）

A、当 $k > 2 m > 0$ 时， $y$ 是关于 $x$ 的函数 B、当 $2 m > k > 0$ 时， $x$ 是关于 $y$ 的函数 C、曲线C的对称中心为 $(\frac{d k π}{m^{2} + k^{2}}, \frac{d m π}{m^{2} + k^{2}}) (d \in Z)$ D、曲线C与直线 $y = \frac{m}{k} x \pm \frac{A}{k}$ 相切

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9、某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是 $P_{n}$ ．则下列说法正确的是（）

A、P（猜对第n+1题|猜对第n题） $= \frac{1}{2}$ B、P（猜对第n+1题|猜错第n题） $= \frac{1}{6}$ C、 $P_{n} = \frac{1}{3}$ D、全部猜对的概率为 ${(\frac{1}{3})}^{20}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- t, t) ， f (0) = 0$ ，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（）

A、设 $f (f (x))$ 的定义域为D，则D $= (- t, t)$ B、设 $f (f (x))$ 的定义域为D，则D $\subseteq (- t, t)$ C、若 $f (x)$ 单调，则 $f (f (x))$ 单调 D、一定存在定义域为 $(- t, t)$ 的偶函数 $g (x)$ 与奇函数 $h (x)$ ，使 $f (x) = g (x) + h (x)$

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11、已知在四面体 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且 $\vec{B P} \cdot \vec{B C} = \vec{B P} \cdot (\vec{B A} - \vec{B P})$ ，则 $\vec{B C} + \vec{B P}$ 与平面 $A B C$ 所成角正切值的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知在△ABC中， $cos (2 C) + 2 sin (A - B) sin (A + B) = 1$ ． P是其内部一点，满足 $|P A| + |P B| + |P C|$ 最小．设 $t = \frac{2 |P B| + |P C|}{|P A|}$ ．则t的最小值为（）

A、7 B、6 C、 $3 + 2 \sqrt{6}$ D、 $3 + 2 \sqrt{3}$

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13、在函数 $y = f (x)$ 中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数 $x = f (y)$ 或 $y = f^{- 1} (x)$ 的图象时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数 $f (x) = x^{x^{x^{x^{x^{x^{x ．．．}}}}}} (x > 0)$ ，则其定义域为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, e^{\frac{1}{e}}]$ C、 $(0, e]$ D、 $(0, e^{\frac{1}{\sqrt{e}}}]$

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14、在等腰直角三角形ABC中， $B = \frac{π}{2}$ ． P为其内部一点，满足 $∠ A P C = \frac{3 π}{4}$ ， $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $∠ P A B$ 的正切值为（）

A、 $\frac{6 - \sqrt{3}}{11}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7 - \sqrt{7}}{11}$ D、 $\frac{6 - \sqrt{3}}{12}$

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15、已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ． A，B分别为 $C_{1}$ 的左，右顶点．过A作直线l与 $C_{1}$ 及 $C_{2}$ 的右支分别交于点P，Q．若 $P B ⊥ Q B$ ，则Q点的横坐标为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、5 D、 $3 \sqrt{2}$

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16、现有某个运算器，输入x后有 $\frac{3}{4}$ 的概率输出 $| x - 1 |$ ，有 $\frac{1}{4}$ 的概率输出 $x$ ．将5个这样的运算器串联在一起，初始输入有 $\frac{2}{3}$ 的概率为1，有 $\frac{1}{3}$ 的概率为0．则在最后输出为0的条件下，初始输入为1的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{95}{192}$ C、 $\frac{66}{97}$ D、 $\frac{63}{106}$

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17、已知虚数数列 $a_{n} = {(1 + i)}^{n}$ ，则其前4n项和为（）

A、 $[1 - {(- 4)}^{n}] (1 - i)$ B、 $[1 - {(- 4)}^{n}] (i - 1)$ C、 $\frac{1}{5} [1 - {(- 4)}^{n}] (1 - i)$ D、 $\frac{1}{5} [1 - {(- 4)}^{n}] (i - 1)$

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18、已知集合A，B，C均为非空集合．若 $a \in B$ 是 $a \in A$ 的充分不必要条件， $a \in A$ 是 $a \in C$ 的充分不必要条件，则 $a \in B$ 是 $a \in C$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题.
塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} \cdot \frac{A F}{B F} = 1$ .
塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C E}{A E} \cdot \frac{A F}{B F} = 1$ ，则AD，BE，CF 三线共点.
角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} \cdot \frac{\sin ∠ C B E}{\sin ∠ A B E} \cdot \frac{\sin ∠ A C F}{\sin ∠ B C F} = 1$ .
角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D} \cdot \frac{\sin ∠ C B E}{\sin ∠ A B E} \cdot \frac{\sin ∠ A C F}{\sin ∠ B C F} = 1$ ，则AD，BE，CF 三线共点.

(1)、如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 $\vec{A F}$ $= \frac{1}{2} \vec{F B} ， \vec{B D} = \vec{D C} ，$ 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C} ，$ 求 $\frac{λ}{μ};$

(2)、利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理；

(3)、如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， E，F分别是棱 $A B$ ， $A D$ 的中点.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

(2)、在棱 $P C$ 上是否存在点G，使得平面 $P E F //$ 平面 $B D G$ ?若点G存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

(3)、若H是棱 $P C$ 的中点，求二面角 $P - B D - H$ 的正弦值.

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