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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，动点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内及其表面上运动，点E在棱AD上，且 $A E = \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ + μ = 1$ ，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、棱 $C_{1} D_{1}$ 上存在点P，使得 $E P / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、若 $A_{1} P ⊥ C_{1} D$ ，则动点P所围成的图形的面积为 $9 \sqrt{2}$ D、若动点P在正方形ABCD内， $A_{1} P = \sqrt{2} E P$ ，则线段BP的最小值为 $\sqrt{21} - \sqrt{15}$

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2、下列说法正确的是（）

A、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $A =$ “第一次出现 2 点”，事件 $B =$ “两次点数之和为奇数”，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥 B、已知一组数据为 $- 1$ ， 1，2，4，3，5，10，9，若 $n$ 为这组数据的上四分位数，则 $n = 7$ C、数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成一个样本，其回归直线方程为 $\hat{y} = x - 3$ ，其中 $\bar{x} =8 .2$ ，去除一个异常点 $(1, 7)$ 后，得到新的回归直线必过点 $(9, 5)$ D、若 $P (A) >0, P (B) >0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不可能同时成立

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3、已知函数 $f (x) = e^{|x|} - x^{2}$ ，若 $a = f (- \sqrt{2}), b = f (e^{\frac{1}{e}}), c = f (π^{\frac{1}{π}})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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4、记 $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积，已知 $a_{n} +2 T_{n} =1$ ，则 $T_{2026} =$ （）

A、 $\frac{1}{2027}$ B、 $\frac{1}{1013}$ C、 $\frac{1}{4053}$ D、 $\frac{2}{4051}$

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5、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $2 \sqrt{15}$

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6、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (3, m)$ 在抛物线上，且 $|M F| = 5$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若 $|A B| = 16$ ，求直线l的方程．

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8、设 $A = \{4, 5, 6, 8\}, B = \{3, 5, 7, 8\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{5, 8\}$ C、 $\{3, 4, 6, 7\}$ D、 $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

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9、已知 $\sin α + 2 \cos α = 0$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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10、已知集合 $A = \{y ∣ y = \sqrt{x} + 1\}, B = {x \in N ∣ 0 \leq x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${x ∣ 1 \leq x < 4}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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11、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、在样本答卷成绩为 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在 $[70, 80)$ 中的市民应抽取多少人？

(3)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $S^{2}$ ．
参考公式： $S^{2} = \frac{n}{n + m} [S_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [S_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数．

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12、如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为.

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13、二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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14、在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为；身高方差为.

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15、已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）

A、10 B、10.6 C、12.6 D、13.6

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16、现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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17、已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A、160，12 B、120，12 C、160，9 D、120，9

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18、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径. $P A$ 与 $⊙ O$ 所在的平面垂直， $P A = A B = 2$ ， C是 $⊙ O$ 上的一动点（不同于A，B），M为线段 $P B$ 的中点，点N在线段 $P C$ 上，且 $A N ⊥ P C$ .

(1)、求证： $A N ⊥ M N$ ；

(2)、当 $A C = B C$ 时，求直线 $P C$ 与直线 $A M$ 所成角的余弦值.

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的无穷等差数列，且各项均为整数.若对于 $\{a_{n}\}$ 中任意两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在一项 $a_{i}$ ，使得 $a_{i} = a_{m} a_{n}$ ，则称数列具有性质P.若 $a_{1} = 4$ ，则具有性质P的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为.

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20、若 ${(1 - 2 x)}^{5} (x + 2) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ .

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