甘肃省兰州市第二十七中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-08 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. 命题p： $\forall x > 0 ， x + \frac{2}{x} > 1$ ，则它的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 0 ， x + \frac{2}{x} \leq 1$ B、 $\exists x > 0 ， x + \frac{2}{x} < 1$ C、 $\exists x < 0 ， x + \frac{2}{x} \leq 1$ D、 $\forall x \leq 0 ， x + \frac{1}{x} \leq 1$

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2. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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3. 不等式 $(x - 1) (- 2 x + 1) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$ B、 $\{x |x \leq - \frac{1}{2}, 或 x \geq 1\}$ C、 $\{x |\frac{1}{2} \leq x < 1\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} \leq x \leq 1\}$

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4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = |x|, y = \sqrt[4]{x^{4}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} - 1}, y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ C、 $y = 1, y = x^{0}$ D、 $y = |x|, y = {(\sqrt{x})}^{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1} - 1$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论错误的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则 $x$ 的值是 $\sqrt{3}$ C、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$

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7. 已知x，y为正实数，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、9

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8. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（）

A、6人 B、7人 C、8人 D、9人

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知全集 $U = \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $A = \{x \in Z | x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{- 4, 2, 3\}$ ．则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 $∁_{U} A$ B、 $∁_{U} (A \cup B)$ C、 $\{- 3, 4\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 2, 3\}$

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10. 下列说法错误的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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11. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2}, 2)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应的横线上.

12. 函数 $f (x) = \sqrt{9 - x^{2}} + \frac{1}{|x + 1|}$ 的定义域是.

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13. 已知集合 $\{0, m^{3}\} \subseteq \{0, m, 1\}$ ，则实数 $m$ 的取值集合为.

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (m + 2) x + 2 m < 0$ 的解集中恰有两个整数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x < 1$ 或 $x > 5}$ .

(1)、求 $A \cup B$

(2)、求 $A \cap (∁_{R} B)$

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x$

(1)、求 $f (- 1)$ ， $f (f (0))$ ；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 2, 2]$ 上的最大值与最小值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 上的最大值为4，求实数 $a$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x - 1) = \frac{x^{2} - 2 x + a}{x - 1}$ ，且 $f (- 1) = - 2.$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最值．

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R) ．$

(1)、若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；

(3)、解关于x的不等式：f（x）＜a-1．

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