浙江省浙里特色联盟2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-11-13 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）

1. 已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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2. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 3 x + 2 < 0$

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3. 已知 $x > 0$ ，则 $2 x + \frac{1}{x}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x - 8$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上为增函数，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 8]$ B、 $(- \infty, 16]$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $[16, + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x + a (x \in R)$ ，则“ $f (0) = 0$ ”是“ $f (x)$ 是奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 下列四个函数中，值域为 $[0, + \infty)$ 的函数是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{- 2}$ C、 $y = |x^{2} - x + 2|$ D、 $y = \sqrt{2 x^{2} + x - 1}$

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $a x - b < 0$ 的解集为 ${x ∣ x > 2}$ ，则关于 $x$ 不等式 $\frac{a x + b}{2 x - 1} < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x ∣ - 2 < x < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{x |x < - 2 或 x > \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 2\}$ D、 $\{x |x < \frac{1}{2} 或 x > 2\}$

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8. 设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数，若 $g (x) = f (x) + 2$ ， $f (2) = 5$ ，则 $g (- 2) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、2 D、5

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）

9. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ B、若 $f (x - 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) = 2$ C、函数 $f (x) = 3 - \frac{2}{x}$ 在 $[1, 3]$ 上的值域为 $[1, \frac{7}{3}]$ D、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 的单调递增区间为 $[1, + \infty)$

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10. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 C、 $a (b - 1)$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 设函数 $f (x) = (x - 1) |x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(0, a)$ 上单调递减，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (1 - x) \geq f (x)$ C、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 总成立 D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, n)$ 上既有最大值也有最小值，则 $n - m \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 设 $m, n \in R$ ，集合 $M = \{1, m\}$ ， $N = \{- 1, - n\}$ ，若 $M = N$ ，则 $m - n =$ .

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13. 函数 $y = \frac{x + 1}{x - a}$ 的图像关于点 $(2, b)$ 中心对称，则 $\frac{b}{a} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + b) (\sqrt{x + 1} - 2)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x + 4 - a^{2} \leq 0, a \in R\}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数 $a$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分条件，求正实数 $a$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x) = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 4}$ 在定义域 $[- 2, 2]$ 上为奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{17}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在定义域内的单调性；

(3)、若 $f (2 - t) + f (4 - t^{2}) < 0$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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17. 工厂生产某种产品，次品率 $p$ 与日产量 $x$ （万件）间的关系 $p = \{\begin{cases} \frac{1}{6 - x} (0 < x \leq c) \\ \frac{2}{3} (x > c) \end{cases}$ （ $c$ 为常数，且 $0 < c < 6$ ），已知每生产一件合格产品盈利 $3$ 元，每出现一件次品亏损 $1.5$ 元.
（1）将日盈利额 $y$ （万元）表示为日产量 $x$ （万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： $次品率 = \frac{次品数}{产品总数} \times 100 %$ ）

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 3)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b = a + 3$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集（结果用 $a$ 表示）；

(3)、若 $f (- 1) = 4$ ， $a > 0$ ， $b > - 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值.

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19. 对于给定的非空数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，定义集合 $A^{+} = \{x |x = a_{i} + a_{j}, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ， $A^{-} = \{x |x = |a_{i} - a_{j}|, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ，当 $A^{+} \cap A^{-} = \emptyset$ 时，称 $A$ 具有孪生性质.

(1)、若集合 $A = \{2, 5\}$ ，求集合 $A^{+}$ ， $A^{-}$ ；

(2)、若集合 $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}$ ， $b_{1} < b_{2} < b_{3}$ ，且 $B^{-} = B$ ，求 $b_{1}$ 的值并证明： $b_{3} = 2 b_{2}$ ；

(3)、若集合 $C \subseteq \{x |1 \leq x \leq 2024, x \in N^{*}\}$ ，且集合 $C$ 具有孪生性质，记 $|C|$ 为集合 $C$ 中元素的个数，求 $|C|$ 的最大值.

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