浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题

试卷更新日期：2025-04-21 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1. 已知集合 $A = \{x |0 < \sqrt{x} < 2\}$ ， $B = \{x \in Z ||x| \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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2. 若复数z满足 $2 z + \bar{z} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + \frac{1}{3} i$ B、 $\frac{1}{3} - i$ C、 $1 - \frac{1}{3} i$ D、 $- \frac{1}{3} + i$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{b}$

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4. “ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = \ln (x^{2} - a x + 1)$ 的值域为R”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若坐标原点O关于动直线l： $m x - y - m + 1 = 0 (m \in R)$ 的对称点为A，则点A的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 和函数 $g (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ 的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且 $f (1) = g (1)$ ，则（）

A、 $ω = 4 π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = 4 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$ C、 $ω = 8 π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ D、 $ω = 8 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 2$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (x + 1) = 1 - \frac{1}{f (x)}$ ，则满足 $\sum_{i = 1}^{n} f (i) \leq 1015$ 的正整数n的最大值为（）

A、2026 B、2027 C、2028 D、2029

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线C： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 x^{2} - 2 y^{2}$ ，若点P为曲线C上的动点，则 $|O P|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）

9. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为 $P_{A}$ ， $P_{B}$ ， $(P_{A}, P_{B} \in (0, 1))$ ，若5轮比赛后A，B的总得分分别为 $X_{A}$ ， $X_{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $E (X_{A}) < E (X_{B})$ ，则 $P_{A} < P_{B}$ B、 $P (X_{A} = X_{B} = 3) \neq P (X_{A} : X_{B} = 2 : 3)$ C、若 $0 < P_{A} < P_{B} < \frac{1}{2}$ ，则 $D (X_{A}) < D (X_{B})$ D、若当且仅当 $k = 2$ 时， $P (X_{A} = k) (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot 5)$ 取得最大值，则 $\frac{1}{3} < P_{A} < \frac{1}{2}$

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10. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = 2$ ， P为C上位于第一象限内的点，且 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = \frac{18}{5}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（）

A、椭圆C的离心率 $e = \frac{1}{2}$ B、 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{|F_{1} M|}{|P F_{1}|} = \frac{2}{3}$

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11. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形， $A B ⊥ P D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 $O_{1}$ ，其外接球球心为 $O_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的内切球半径为 $\sqrt{2} - 1$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $O_{1} O_{2}^{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题S分，共15分．）

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - a, x > 0, \\ b e^{- x} - 2, x < 0 \end{array}$ ，为奇函数，则 $a + b =$ ．

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13. 已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin α \tan β = 2 \cos^{2} \frac{α}{2}$ ，则 $\tan (α + β) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 β =$ ．

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14. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 $A I$ ．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用 $A I$ 技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $P D = A B = 4$ ， M，N为别为棱PB，CD的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P M N$ 与平面 $A M N$ 的夹角的余弦值．

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16. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - 2 x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线过点 $(0, - 3)$ ，求实数a的值；

(2)、当 $\frac{1}{e^{2}} < a < \frac{2}{e}$ 时，证明： $f (x) > - 3$ ．

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17. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ，且 $△ A O D$ 和 $△ B O C$ 的外接圆半径相等．

(1)、若 $A B = 2$ ，求OA的长；

(2)、若 $\sin 2 ∠ D A O + \sin ∠ O B C = 1$ ，求 $∠ B C O$ ．

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18. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，且四点 $A (\sqrt{3}, 2)$ ， $B (2, \sqrt{6})$ ， $C (2, - \sqrt{6})$ ， $D (3, 2)$ 中恰有三点在E上．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且 $|O M| = |O N| = \sqrt{2}$ ．
（ⅰ）证明：Q，O，R三点共线；
（ⅱ）求 $△ P Q R$ 面积的最小值．

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19. 已知数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = n b_{n + 1}$ ，当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数大于2时，将数列 $\{b_{n}\}$ 中各项的所有不同排列填入一个 $n!$ 行 $n$ 列的表格中（每个格中一个数字），使每一行均为这 $n$ 个数的一个排列，将第 $i (1 \leq i \leq n!, i \in N)$ 行的数字构成的数列记作 $\{a_{i n}\}$ ，将数列 $\{a_{i n}\}$ 中的第 $j (1 \leq j \leq n, j \in N)$ 项记作 $a_{i j}$ ．若对 $\forall i, j$ ，均有 $a_{i j} \neq b_{j}$ ，则称数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为 $M$ ．

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n}$ ；

(2)、当数列 $\{b_{n}\}$ 的项数为 $4$ 时，求 $M$ 的值；

(3)、若数列 $\{a_{i n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的“异位数列”，试讨论 $\sum_{j = 1}^{n} |a_{i j} - b_{j}|$ 的最小值．

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