广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题

试卷更新日期：2025-04-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ {log}_{2} (x + 1) > 1\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $[1, 2] \cup [3, + \infty)$ B、 $(- 2, - 1) \cup [4, + \infty)$ C、 $(1, 2]\cup[4, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (4, + \infty)$

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2. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 6 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知 $\vec{a} = (2, 2 m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- 6$

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (X < 9.9) + P (X \leq 10.1) > 1$ B、当 $σ = 0.1$ 时， $D (2 X + 1) = 0.4$ C、 $E (X) = \sqrt{10}$ D、随机变量 $X$ 落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(9.8, 10.1)$ 的概率相等

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5. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，若 $S_{5} = 35$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、11 B、13 C、19 D、17

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sinπ ω x - cosπ ω x (ω > 0)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有3个最值点和3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{10}{3}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{10}{3}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{19}{6})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{19}{6})$

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7. 设曲线 $y = e^{(n + 1) x} (n \in N^{*})$ 在 $(1, e^{n + 1})$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 ${log}_{2025} x_{1} + {log}_{2025} x_{2} + {log}_{2025} x_{3} + \dots + {log}_{2025} x_{2024}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- {log}_{2025} 2024$ C、 ${log}_{2025} 2024 - 1$ D、1

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8. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点．过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 的方程和直线 $O H$ 斜率的最大值分别为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2}{3}$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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10. 如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A_{1} P$ B、平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、若 $A_{1} Q = \sqrt{11}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、若点 $G$ 在直线 $A_{1} B$ 上，则 $A G + G P$ 的最小值为 $\sqrt{9 - 2 \sqrt{10}}$

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11. 我们常用的数是十进制数，如 $1025 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 5 \times 10^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $1101_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ，等于十进制的数13．已知 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $n \geq 2$ ，若把 $m$ 位 $n$ 进制中的最大数记为 $M (m, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M (5, 4) = 1023$ B、 $M (2, 4) < M (4, 2)$ C、 $M (3^{n}, 2) > M (3 n, 2)$ D、 $M (n + 3, n + 2) > M (n + 2, n + 3)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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13. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 2) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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14. 一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin C = sin A cos B + \frac{1}{2} sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 6 \times 5^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 5^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ F_{1} A B$ 的面积最大时，求此时直线 $l$ 的方程．

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18. 如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点．设平面 $A E F \cap$ 平面 $A B C D = m$ ．

(1)、求证： $m // B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值；

(3)、若平面 $A E F$ 与棱 $P C$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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19. 在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线 $C : y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到 $B$ 时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = |\frac{Δ θ}{Δ s}|$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义 $K = lim_{Δ s \to 0} |\frac{Δ θ}{Δ s}| = \frac{|y^{″}|}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线 $C$ 在点 $A$ 处的曲率．（其中 $y^{'}$ ， $y^{″}$ 分别表示 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的一阶，二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为 $45^{\circ}$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、求抛物线 $y^{2} = 8 x$ 在 $(2, 4)$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} |y^{″}|}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x ln x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，若 $x_{2} \geq 8 x_{1}$ 且 $P$ ， $Q$ 处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的最小值．

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