广东省广州市庆丰实验学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-04-25 类型：期中考试

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一、单选题（共8小题，每小题5分）

1. 若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处切线斜率为1，则 $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{2 △ x} =$ （）

A、 $- 1$ B、0.5 C、1 D、2

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2. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 函数 $f (x) = 3 x - x^{3}$ 的单调增区间是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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4. 一个等比数列前 $n$ 项的和为48，前 $2 n$ 项的和为60，则前 $3 n$ 项的和为（）．

A、83 B、108 C、75 D、63

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5. 将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、240种 B、180种 C、120种 D、60种

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且 $a_{n} = \{\begin{cases} (3 - t) n - 8, n \leq 5 \\ t^{n - 5}, n > 5 \end{cases}$ $(n \in N^{*})$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{6}, 3)$ B、 $[\frac{6}{5}, 3)$ C、 $(\frac{10}{7}, 3)$ D、 $(1, 3)$

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7. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对于 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) < e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 2)$

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8. 设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a x + a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2 e} ， 1)$ B、 $[- \frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4})$ D、 $[\frac{3}{2 e} ， 1)$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9. 已知m， $n \in N^{*}$ 且 $n \geq m$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} A_{m}^{m}$ B、若 $C_{n + 1}^{n - 1} = 21$ ，则 $n = 6$ C、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ D、 $C_{n + 1}^{m + 1} = (n + 1) C_{n}^{m}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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11. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 可以用递推的方法来定义： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} = a_{2022}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020} = a_{2022}$ C、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021}^{2} = a_{2021} a_{2022}$ D、 $\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2019} a_{2021}} + \frac{1}{a_{2020} a_{2022}} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} - \frac{1}{a_{2021} a_{2022}}$

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三、填空题（共3小题，每小题5分）

12. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 1$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$

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13. $(x + \frac{y^{2}}{x}) (x + y)^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为.

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14. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 2$ 的切线，也是曲线 $y = \ln (x + 1)$ 的切线，则 $b =$ ．

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四、解答题（共5小题，共77分）

15. 高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一（1）班36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
男生
20
20
20
8
3
0
9
女生
16
6
6
16
4
10
6
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：

(1)、求从20名男生中随机选出2名有种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率等于

(2)、已知16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + \ln x (a, b \in R)$ .
（1）若 $a = 1, b = 3$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.
（2）若 $b = 0$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 2}$

(1)、证明：数列 ${1 - \frac{1}{a_{n}}}$ 为等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，证明： $b_{n} < b_{n + 1} < 1$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a {(x - 1)}^{2}$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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19. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots n a_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，

(1)、求 $a_{3}$ 的值；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = \frac{T_{n - 1}}{n} + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}) a_{n} (n \geq 2)$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} < 2 + 2 \ln n$ ．

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性别	人数	物理	化学	生物	政治	历史	地理
男生	20	20	20	8	3	0	9
女生	16	6	6	16	4	10	6