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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 在 $x = 2$ 处取得极值，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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2、如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, M$ 为 $D C$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ （如图2），使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E$ 是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？

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3、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - 6 y + 12 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $3 x + y - 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、在（2）的前提下，若点 $Q$ 是圆 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 上的点，求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B - b cos (A - \frac{π}{6}) = 0.$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点(不包含端点)，且满足 $∠ A D B = 2 ∠ A C B$ ，
(i) 若 $A D ⊥ B C$ ， $c = 3$ 求 $C D$ 的长；
(ii) 求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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6、如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为 $1$ 的等差数列和一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1$ 的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $\dots$ ，则 $a_{50} =$ .

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7、若双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的渐近线，且双曲线 $C$ 的右焦点在直线 $y = x - 10$ 上，则双曲线 $C$ 的标准方程为．

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8、某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高二获胜的概率为．

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9、如图，直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ B、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ C、 $α_{1} < α_{3} < α_{2}$ D、 $α_{3} < α_{2} < α_{1}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (x, - 2), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $\vec{a} - \vec{b} = (5, - 4)$ ，则 $x = 6$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 4$ C、若 $|\vec{a}| = \sqrt{13}$ ，则 $x = \pm 3$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = 1$

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11、已知直线 $l : y = k (x - 1)$ ， “ $k = \frac{2}{3}$ 或 $k = - \frac{2}{3}$ ”是“直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有且仅有一个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{20}{3} \sqrt{5} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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13、在平面直角坐标系中，由点 $P (- 2, 5)$ 发出的一条光线射向 $y$ 轴上的点 $Q (0, 1)$ 后，经 $y$ 轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $x + 2 y - 2 = 0$

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14、已知样本数据为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 2025, s^{2} > 1$ B、 $\bar{x} = 2025, s^{2} < 1$ C、 $\bar{x} < 2025, s^{2} < 1$ D、 $\bar{x} = 2025, s^{2} > 1$

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 - 3 a_{n}}{3 + 2 a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2026}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- 1$ D、1

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16、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 (b \cos A + a \cos B) = c^{2}$ ， $b = 3$ ， $3 \cos A = 1$ ，则 $a =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、4

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17、已知i为虚数单位，复数z满足 $z + 1 = i (z - 2)$ ，则z的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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18、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α) + \sin (π + α)}{\cos (3 π - α) + \sin (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 f (x) + a$ 在 $[0, \frac{5 π}{12}]$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \log_{2} (4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x$ .
（ⅰ）求证：函数 $g (x)$ 是偶函数；
（ⅱ）解关于 $x$ 的不等式 $g (x) < g (1 - x)$ .

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