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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (1, 0, - 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $3 \vec{a} + \vec{b} =$ .

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2、侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，往里第二个正方形为 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，往里第 $n$ 个正方形为 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ）．

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3、如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为米．

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4、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} - S_{3} = 35, a_{3} + a_{10} = 7$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为.

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5、对于 $△ A B C$ ，若存在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，满足 $\frac{\sin A}{\cos A_{1}} = \frac{\sin B}{\cos B_{1}} = \frac{\sin C}{\cos C_{1}} = 1$ ，则称 $△ A B C$ 为“ $Λ$ 类三角形”，则“ $Λ$ 类三角形”一定满足有一个内角为定值，为.

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6、已知 $\sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{3}$ ，且 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} + θ) =$ ．

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7、已知实数m，n满足 $2^{m} = 9^{n} = 18$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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8、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} + 1, x \leq 0 \\ |\log_{4} x|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于 $x$ 的函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 3$ 恰好有六个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x} + 1, x > 1. \\ (3 - 2 a) x + 2, x \leq 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数．则实数a的取值范围为．

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10、幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数m的值为.

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11、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ .已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3 x + 4} + \frac{8}{9}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是.

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12、第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行.此次航展，观众累计参观近60万人次，签约金额超2800亿人民币.为庆祝这一盛会的成功举行，珠海某商场决定在航展期间举行“购物抽奖送航模”活动.盒中装有5个除颜色外均相同的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球，若取出的是红球，则可领取“隐形战机歼-35A”模型，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“隐形战机歼-20S”模型，并将该球放回盒中.则在第2位顾客抽中“歼-20S”模型的条件下，第1位顾客抽中“隐形战机歼-35A”模型的概率为.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(c - b) sin C = (a + b) (sin A - sin B)$ ，则 $A =$ .

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14、某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．

(1)、假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；

(2)、假设代仕同学有 $n$ 点积分，该同学用完 $n$ 点积分的方式种数记为 $a_{n}$ ，求 $a_{n}$ 表达式；

(3)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1}}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x < 0$ 时， $f (x) < a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 有两个不相等的正实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $\sqrt{3} - 1 < x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} - x_{1} < \frac{b + 2 b e + 4 e^{2}}{2 e^{2}}$ ．

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16、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $Q$ ，且由点 $P$ ， $Q$ ， $A$ ， $B$ 组成的以 $P A$ 为一边的四边形的面积为 $\frac{9}{2}$ ，求 $l$ 的方程．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A D = D C = 2$ ， $A B = 4$ ， $△ P B D$ 为等边三角形，且平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、作出点 $B$ 在平面 $P A D$ 的射影 $E$ ，并证明；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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18、已知 $△ A B C$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} - a b) tan C$ ．

(1)、证明： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，交 $A B$ 于点 $D$ ，且 $a = \frac{6}{5}$ ， $C D = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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19、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = C D = \sqrt{5}$ ， $A D = B C = 3$ ， $B D = 2$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ，且 $A C = \sqrt{6}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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20、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，若直线 $l : a x + b y + c = 0$ 与曲线 $y = e^{x - 1} + ln x - 3$ 相切，则 $\frac{b + c}{a} =$ ．

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