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相关试卷

1、已知圆M过点 $(- \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 且与圆 $N : x^{2} + 8 x + y^{2} - 1 = 0$ 为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.
（1）若直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m$ 被圆M截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求m的值；
（2）设直线 $l : y = k x + 3$ 与圆M交于点A，B，记 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} x_{2} + (y_{1} + 1) (y_{2} + 1) = 12$ ，求k的值.

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ B A D = ∠ C D A = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2, E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - E$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求 $P D$ 的长.

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．
（1）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；
（2）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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4、如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 A D = A A_{1} = A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 4 \vec{M B}$ .

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度.

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5、（1）已知点 $A (2, 4) ､ B (- 3, 2)$ ，求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程；
（2）已知直线 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角是直线 $l_{1}$ 倾斜角的2倍，求直线 $l_{2}$ 的斜率.

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6、若圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有 $2$ 个点到直线 $l : 4 x - 3 y - 10 = 0$ 的距离为 $1$ ，则实数 $r$ 的取值范围为.

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7、已加数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} (1 - 5 a) n + 19 a, n \leq 4 \\ 2 a^{n - 3} + 3, n > 4 \end{cases}$ ，若 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立.则a的取值范围是．

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8、已知P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内(含正方体表面)任意一点，则 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的最大值为.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2024} = \frac{3}{2}$ B、 $S_{3 n + 1} - S_{3 n} = - \frac{1}{2}$ C、 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = - 1$ D、 $S_{19} = 21$

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10、已知 $P, Q$ 分别为圆 $M : {(x - 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 与圆 $N : {(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点， $A$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|A P| + |A Q|$ 的值不可能是（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $5 \sqrt{5} - 3$ D、 $5 \sqrt{5} - 2$

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11、经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）

A、y=x B、x+y-2=0 C、x+2y-3=0 D、3x-y-2=0

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12、三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点 $A (0, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 、 $C (1, \sqrt{3})$ ，则 $△ A B C$ 的泰勒圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = \frac{7}{4}$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = \frac{7}{4}$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{7}{12}$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{7}{12}$

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13、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq 9$ ， $n \in N^{*})$ 个圆环所需移动的最少次数， $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1 (n 为偶数) \\ 2 a_{n - 1} + 2 (n 为奇数) \end{array}$ ，则解下4个圆环最少移动的次数为（）

A、7 B、14 C、5 D、16

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14、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 的等差中项为4， $a_{5}$ 、 $a_{8}$ 的等差中项为 $8 \sqrt{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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15、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 3$ ， $a_{n} = 32$ ，则 $n$ 等于（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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16、已知向量 $\vec{n} = (4, 1, 2)$ ，点 $A (- 1, 2, 1)$ ， $B (2, s, t)$ ，且 $\vec{A B} / / \vec{n}$ ，则 $s + t =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{21}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $\frac{21}{4}$

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17、已知直线 $l$ 过点 $A (3, - 2)$ 、 $B (\frac{1}{2}, m)$ ，且直线 $l$ 的方向向量为 $(1, - 1)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、数列 $\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{6}, \frac{9}{8}, \cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ B、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2^{n}}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n}$ D、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2 n}$

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19、已知点 $A (- 1, 2)$ 和直线 $l : x - y + 1 = 0.$ 点 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、 $O$ 为坐标原点，且点 $P$ 满足 $|P O| = \sqrt{3} |P B|$ ，求点 $P$ 的轨迹方程；

(3)、若（2）中点 $P$ 的轨迹与直线 $x + m y + 1 = 0$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

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20、在平面直角坐标系中，定义 $d (P, Q) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为两点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 之间的“折线距离”. 则坐标原点 $O$ 与直线 $2 x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点的“折线距离”的最小值是；圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点与直线 $2 x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点的“折线距离”的最小值是.

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