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相关试卷

1、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{°}$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为．

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2、已知 $x, y \in R$ ，且 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} - 11$ 的最大值为.

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3、已知直线 $l_{1} : x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : y = 2 x + 2$ 互相垂直，则 $a$ 的值是．

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4、下列说法正确的是（）

A、“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”是“ $a = - 1$ ”的充分不必要条件 B、直线 $x sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、若圆 $M : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有两点到点 $N (1, 0)$ 的距离为1，则 $r$ 的取值范围是 $(4, 6)$ D、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴上的截距互为相反数的直线方程是 $x - y + 1 = 0$

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5、下列关于空间向量的说法正确的是（）

A、零向量与任意向量平行 B、相反向量就是方向相反的向量 C、零向量不能作为任意直线的方向向量 D、方向相同且模相等的两个向量是相等向量

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6、如图，多面体 $A B C D - E F H$ 是各棱长均为1的平行六面体 $A B C D - E F G H$ 截去三棱锥 $G - C F H$ 后剩下的几何体，若点 $P$ 是三角形 $C H F$ 的重心， $∠ E A B = ∠ E A D = ∠ D A B = 60 °, \vec{A Q} = λ \vec{A P}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A P = \frac{8}{3}$ B、异面直线 $A P, C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A P ⊥ B D$ D、若 $E, Q, B, D$ 四点共面，则点 $Q$ 是线段 $A P$ 的中点

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7、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (A, B, C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (μ, υ, ω) (μ υ ω \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{μ} = \frac{y - y_{0}}{υ} = \frac{z - z_{0}}{ω}$ ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，经过 $(0, 0, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{35}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{15}}{35}$

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8、若 $\vec{a} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $2 \vec{b} - \vec{c}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{12 \sqrt{13}}{13}$

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9、在四面体 $O - A B C$ 中，空间一点 $M$ 满足 $\vec{O M} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + x \vec{O C}$ ，若四点共面，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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10、已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 不共面，则与向量 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{c}$ 共面的向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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11、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 k + 5 = 0$ 表示圆，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- \infty, - 2]$

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12、若点 $P (- 2, - 1)$ 到直线 $l : (1 + 2 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0$ （ $λ$ 为任意实数）的距离取最大值时，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、2

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13、已知两点 $A (7, - 4)$ ， $B (- 5, 6)$ ，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程是（）.

A、 $6 x - 5 y - 1 = 0$ B、 $6 x + 5 y - 1 = 0$ C、 $5 x - 6 y - 1 = 0$ D、 $5 x + 6 y - 1 = 0$

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14、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{a + 2^{x}}$ 是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断并用定义证明 $f (x)$ 的单调性；
（3）若对任意 $t \in [3, + \infty)$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t + 3) + f (2 t^{2} - k t) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x - 1$ ．
（1）若 $b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上的最大值和最小值；
（2）要使函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

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16、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1\}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $m$ 的取值集合．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x}}{2 + 4^{x}}$ ，则对任意实数x都有 $f (x) + f (1 - x) =$ ；且 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + \dots + f (\frac{2021}{2023}) + f (\frac{2022}{2023}) =$ ．

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18、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 过点 $(3, 27)$ ，则 $α$ 为.

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19、已知定义在 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - 2 |x - \frac{3}{2}|, 1 \leq x \leq 2 \\ 2 f (\frac{x}{2}), x > 2 \end{matrix}$ 下列结论正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ B、当 $x \in [4, 8]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为4 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[10, 16]$ 上单调递减 D、 $f (2023) = 50$

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20、若 $a > 0, b > 0$ ．且 $a + b = 4$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $0 < \frac{1}{a b} \leq \frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a b} < 2$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ D、 $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{1}{8}$

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