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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，且直线 $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， E为正方形 $A_{1} A D D_{1}$ 的中心，则下列结论正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹为抛物线 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球被平面 $A_{1} B C_{1}$ 所截得的截面面积为 $\frac{π}{6}$ C、直线 $C P$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、点 $M$ 为直线 $D_{1} B$ 上一动点，则 $M P + M E$ 的最小值为 $\sqrt{\frac{11 - 2 \sqrt{6}}{6}}$

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2、某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（）

A、成绩的第60百分位数为122 B、成绩的极差为36 C、成绩的平均数为125 D、若增加一个成绩125，则成绩的方差变小

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3、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $M, N$ 分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，且满足 $∠ M F_{2} N = \frac{π}{3}$ ， $\vec{N F_{2}} = 2 \vec{M F_{1}}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4、房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为 $24 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到 $12 cm \times 11 cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times \frac{11}{2} cm \times 5 cm$ ， $24 cm \times 11 cm \times \frac{5}{2} cm$ 三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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5、已知x，y为正实数，则可成为“ $x < y$ ”的充要条件的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x + \ln y < y + \ln x$ C、 $\sin x < \sin y$ D、 $x - \cos y < y - \cos x$

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6、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且 $- 3 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ B、 $\frac{3^{n} - 3}{2}$ C、 $\frac{3^{n + 1} + 3}{4}$ D、 $\frac{3^{n + 1} - 1}{4}$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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8、在复平面内，复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $z$ 的实部为2 B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\bar{z} = 2 - i$ D、 $z$ 对应的点位于第一象限

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9、已知集合 $A = \{x |x - 1 \geq 0\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[1, 3)$

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10、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，以 $A B$ 为轴将菱形 $A B C D$ 翻折到菱形 $A B C_{1} D_{1}$ ，使得平面 $A B C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 为边 $B C_{1}$ 的中点，连接 $C E, D D_{1}$ .

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $A D D_{1}$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的正弦值.

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P, Q, R$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q ⊥ x$ 轴.点 $M, N$ 满足 $\vec{R M} = \vec{M P}, \vec{P N} = 2 \vec{N Q}$ .若直线 $M Q$ 与 $N R$ 的交点在 $x$ 轴上，则 $d (R, Q)$ 的最大值为.

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12、已知集合 $P = \{(x, y) | x^{4} + a x - 2024 = 0$ 且 $x y = 2024\}$ ，若 $P$ 中的点均在直线 $y = 2024 x$ 的同一侧，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2023) \cup (2023, + \infty)$ B、 $(2023, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2024) \cup (2024, + \infty)$ D、 $(2024, + \infty)$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = λ n^{2} - n$ ，对任意 $n \in \{1, 2, 3\}$ 都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，且对任意 $n \in \{n |n \geq 7, n \in N\}$ 都有 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{14}, \frac{1}{8}]$ B、 $(\frac{1}{14}, \frac{1}{7})$ C、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{7})$ D、 $(\frac{1}{15}, \frac{1}{8}]$

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14、海宁一中高一生劳课上，朱老师组织学生在寝室楼下的荒地上种菜.如图，在一条直路边上有相距 $10 \sqrt{3}$ 米的A、B两定点，路的一侧是荒地，朱老师用三块长度均为10米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块 $A B C D$ （直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块 $A B D$ 和三角形地块 $B C D$ 分别种植青菜、萝卜两种作物.已知两种作物的收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为 $k$ ，即收益 $W = k (S_{△ A B D}^{2} + S_{△ B C D}^{2})$ ，设 $∠ D A B = α$ .

(1)、当 $α = 60 °$ 时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，朱老师准备了15米的篱笆. 请问是否够用，并说明理由.

(2)、求使两块地的总收益最大时，角 $α$ 的余弦值.

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15、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .且 $\sqrt{3} a \cos C - \sqrt{3} b = c \sin A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{19}$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $\frac{B D}{D C} = \frac{3}{4}$ ，且 $A D ⊥ A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、海宁一中物理兴趣小组在课外研究三力平衡问题：即三个力的合力为零.已知 $\vec{f_{1}}$ ， $\vec{f_{2}}$ ， $\vec{f_{3}}$ 三力平衡，且夹角如图所示.

(1)、若 $α = 120 °$ ， $|\vec{f_{2}}| = 1$ ， $|\vec{f_{3}}| = 2$ ，求 $|\vec{f_{1}}|$ 的大小；

(2)、证明： $\frac{|\vec{f_{1}}|}{\sin α} = \frac{|\vec{f_{2}}|}{\sin β} = \frac{|\vec{f_{3}}|}{\sin γ}$ .

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $A D$ 的长度；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $E$ 点在 $B C$ 上，求 $A E$ 的长度.

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ .

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19、当 $n \in N^{*}$ 时，将 $n, n + 1, n + 2 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 称为一组连续正整数.若存在某个三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍，其最短边长为.

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20、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 3), \overset{⃑}{b} = (3, 4)$ ，若 $(\overset{⃑}{a} - λ \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $λ =$ ．

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