广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三联考第一次模拟考试试卷（全国联考）数学试题

试卷更新日期：2026-03-12 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 集合 $A = \{x | 2 \leq x < 4\}$ ， $B = \{x | 2^{x} \geq 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[2, 3]$ D、 $[3, 4)$

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2. 在复平面内，复数 $(4 - 3 i) (2 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (4 - x)$ ，则 $f (4) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 将函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x) =$ （）

A、 $\sin (2 x + \frac{3 π}{8})$ B、 $\cos 2 x$ C、 $\sin (2 x + \frac{π}{8})$ D、 $\sin 2 x$

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6. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、2 B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、4 $\sqrt{2}$

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8. 以直线 $y = \sqrt{5} x$ 与 $y = - \sqrt{5} x$ 为渐近线的双曲线的离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$ 或 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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9. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为0， $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列，且 $a_{2} = 2 a_{1} + 1$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |x + 1|, Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分．）

11. 在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为（用数字作答）

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12. 设a为常数，多项式 $x^{3} + a x^{2} + 1$ 除以 $x^{2} - 1$ 所得的余式为 $x + 3$ ，则a＝．

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13. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是．

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的公共弦长为.

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15. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - a)$ 的极值点，则 $f (0) =$ ．

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三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\sqrt{2} cos B (a cos C + c cos A) = b$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{4} B C$ ，求 $cos A$ ．

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17. “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为 $\frac{3}{10} 、 \frac{2}{5} 、 \frac{3}{10}$ ．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为 $\frac{2}{3} 、 \frac{3}{5} 、 \frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)、若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得 $- 1$ 分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；

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18. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{(2 n - 1) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若 $A_{1}$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ ， $N$ 与 $A_{1}$ 不重合）， $l$ 不与 $x$ 轴垂直，若 $k_{A_{1} M} + k_{A_{1} N} = - k_{M N}$ ，求 $|M N|$ ．

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