河北邢台市卓越联盟2026届高三下学期4月质量检测数学试题

试卷更新日期：2026-04-15 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $P = {x ∣ x > - 2}$ ， $Q = {x ∣ x > 1$ 或 $x < - 3}$ ，则（）

A、 $P \subseteq Q$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \cap Q = {x ∣ x > - 2}$ D、 $P \cup Q =$ ${x ∣ x > - 2$ 或 $x < - 3}$

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2. 设 $z + 2 = 3 \bar{z} + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 4$ ， $a_{7} = 8$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、 $16$ B、 $24$ C、 $32$ D、 $40$

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4. 已知 $e^{a} = 2$ ， $ln b = 3$ ，则 $b^{a} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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5. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $4 + \frac{a}{b} = a$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、8 D、4

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6. 某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第 $p$ 百分位数恰为这组数据的众数，则 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(25, 50)$ B、 $(35, 60)$ C、 $(40, 75)$ D、 $(50, 85)$

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7. 设 $sin α \neq 0$ ，已知角 $α$ 的终边经过点 $P (2 sin α, sin 2 α)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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8. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 与圆 $F : x^{2} - 2 x + y^{2} + m = 0$ 有且仅有一个公共点，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 将函数 $f (x) = sin (\frac{1}{3} x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $π$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (0) = g (π)$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称的图象恰为 $g (x)$ 的图象 C、两函数没有相同的零点 D、两函数在 $[π, 2 π]$ 上单调性相同

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10. 已知直线 $2 x - y - 3 = 0$ 被双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 截得的弦长为 $m (m > 0)$ ，则下列直线中被 $C$ 截得的弦长也为 $m$ 的有（）

A、 $2 x + y + 3 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 3 = 0$ D、 $2 x - y - 1 = 0$

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11. 已知 $f (x + 2)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = (|x - 2| + 1) f (x - 1)$ ， $g (2) = 1$ ，若 $g (x + 2)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (3) = 1$ B、 $g (24) = - 23$ C、 $\sum_{i = 1}^{2026} f (i) = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2026} g (i) = 2013$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 8)$ ， $2 \vec{a} - 5 \vec{b} = (- 5, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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13. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{3} + S_{5} = 56$ ， $2 S_{11} - 7 a_{6} = 30$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为.

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14. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，平面 $α$ 经过直线 $B F$ 且平行于直线 $A_{1} E$ ，则点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = - \frac{1}{3} a b$ ， $c = \frac{2 \sqrt{3}}{3} b$ .

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $A B$ 边上的高为 $2 \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 甲、乙两队进行排球比赛，比赛采用五局三胜制.在一局比赛中，若甲队胜，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；若甲队输，则甲队下一局胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知第一局甲队胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每局比赛的结果相互独立，且没有平局.

(1)、求甲队第2局获胜的概率；

(2)、求比赛不超过4局且甲队获胜的概率.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C ⊥ P D$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = 2$ ．

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、四棱锥 $P - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，求该球的体积．

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18. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > \frac{\sqrt{6}}{2} b > 0)$ 的离心率是椭圆 $C_{2} : \frac{3 x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{2 b^{2}} = 1$ 的离心率的 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 倍， $C_{1}$ 的短轴长比 $C_{2}$ 的长轴长小2.

(1)、分别求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x + m (m \neq 0)$ 与 $C_{2}$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，与 $C_{1}$ 相切于点 $P$ .
（i）若 $P$ 为 $E F$ 的中点，求 $l_{1}$ 的方程；
（ii）直线 $l_{2}$ 过 $P$ 交 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，证明： $|E F| < \sqrt{2} |M N|$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{x^{2}} - 1) + \frac{ln x}{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，函数 $g (x) = x^{2} f (x)$ 的两个极值点分别为 $m$ ， $n (m < n)$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $g (\frac{m + n}{2}) > f (x_{1} x_{2} x_{3})$ .

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