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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 l n x + a (x^{2} - 3 x + 2)$ ， $a \in R$ .当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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2、已知函数 $f (x) = x (l n x - a x) (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $1 < x_{2} < \frac{1}{2 a}$ C、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{2 a} - 1$ D、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) > - \frac{1}{2}$

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3、已知定义在D的上函数 $f (x)$ 满足下列条件：①函数 $f (x)$ 为偶函数，②存在 $x_{0} > 0$ ， $f (x)$ 在 $[x_{0}, + \infty)$ 上为单调函数. 则函数 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = \frac{l n (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{x^{2}}$ B、 $f (x) = s i n (2 π x) (2^{x} - 2^{- x})$ C、 $f (x) = l o g_{a} | x^{3} - a x | (0 < a < 1)$ D、 $f (x) = x^{2} + l n (e - x) l n (e + x)$

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n x$ 有两个大于1的零点，则 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, e^{\frac{1}{e}}]$ C、 $(e^{\frac{1}{e}}, e]$ D、 $[e^{e + 1}, e^{2 e})$

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5、已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于任意 $[\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $f (x) \leq a x - 1$ ，求实数a的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = a x^{2} - {(l n x)}^{2} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} x_{2} > e$ ．

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7、函数 $f (x) = 1 - 2 x - | l n x |$ 的最大值为.

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8、已知 $f (x) = e^{s i n 2 x + 2 c o s x}$ ，（参考数据 $l n 13.4 \approx 2.6$ ），则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $π$ 的周期函数 B、 $f (x)$ 在 $(- π, 0)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内共有4个极值点 D、设 $g (x) = f (x) - x$ ，则 $g (x)$ 在 $(- \infty, \frac{29 π}{6})$ 上共有5个零点

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9、函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + c o s x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4}, g (x) = s i n x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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11、已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则a的最小值为（）．

A、 $e^{2}$ B、e C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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12、设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $f$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $f$ ： $A \to B$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\bar{\bar{A}} \neq \bar{\bar{B}}$ .
例如：对于集合 $A = N^{*}$ ， $B = \{2 n |n \in N^{*}\}$ ，存在一一对应关系 $y = 2 x (x \in A, y \in B)$ ，因此 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .

(1)、已知集合 $C = \{(x, y) |x^{2} + y^{2} = 1\}$ ， $D = \{(x, y) | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1\}$ ，试判断 $\bar{\bar{C}} = \bar{\bar{D}}$ 是否成立?请说明理由；

(2)、证明：① $\bar{\bar{(0, 1)}} = \bar{\bar{(- \infty, + \infty)}}$ ；
② $\bar{\bar{N^{*}}} \neq \bar{\bar{\{x |x \subseteq N^{*}\}}}$ .

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13、已知椭圆 $C$ ： $9 x^{2} + 8 y^{2} = 81$ ，直线 $l$ ： $x = - 1$ 交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点， $△ T M N$ 的内切圆为圆Q.

(1)、求椭圆 $C$ 的焦点坐标；

(2)、求圆Q的方程；

(3)、设点 $P (1, 3)$ ，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求 $△ P A B$ 的周长.

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14、如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 A_{1} B_{1}$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 6$ ， $C D = 9$ ， $A D = 6$ ，且 $A A_{1} = B B_{1} = 4$ ， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 中点，

(1)、求证： $B Q ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若四棱锥 $Q - A B B_{1} A_{1}$ 的体积为 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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15、台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费 $x_{i}$ （单位：百万元）和年销售量 $y_{i}$ （单位：百万辆）关系如图所示：令 $v_{i} = \ln x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 5)$ ，数据经过初步处理得：

$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
现有① $y = b x + a$ 和② $y = n \ln x + m$ 两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.

(1)、请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)、根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?

(3)、该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量 $ξ$ 影响，设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (600, σ^{2})$ ，且满足 $P (ξ > 800) = 0.3$ .在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，
回归直线 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
②参考数据： $\sqrt{40.3 \times 1.612} = 8.06$ ， $\sqrt{403} \approx 20.1$ ， $\ln 5 \approx 1.6$ ， $\ln 6 \approx 1.8$ .

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ .

(1)、求 $a_{2024}$ （只需写出数值，不需要证明）；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项可以表示成 $a_{n} = \frac{1}{2} - \sqrt{3} \sin (ω n + φ) (0 < ω < 3, φ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}])$ 的形式，求 $ω$ ， $φ$ .

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17、已知关于x的不等式 $\ln x + 1 \leq a \sqrt{x} e^{\frac{a x - 1}{2}}$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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18、某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为.

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19、 ${(x + 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（用数字作答）.

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20、已知 $f (x)$ 是定义域为 $\{x |x \neq 0\}$ 的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有 $f (x) f (y) = f (x y) + f (\frac{x}{y})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[2, + \infty)$ C、 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (y_{i} - \bar{y}) (v_{i} - \bar{v})$
44	4.8	10	40.3	1.612	19.5	8.06