浙江宁波十校2026届高三下学期3月联考数学试题

试卷更新日期：2026-03-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x \leq 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 5\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{- 1, 5\}$ C、 $\{- 1, 0, 5\}$ D、 $\{0, 1\}$

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2. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ．已知 $a, b \in R$ ，则“ $a + b \in Q$ ”是“ $D (a) + D (b) = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a > 0, b > 0, lg \sqrt{2}$ 是 $lg 4^{a}$ 与 $lg 2^{b}$ 的等差中项，则 $2 a + b$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 5 m + 3) x^{\frac{1}{m}}$ 是非奇非偶函数，令 $a_{n} = \frac{1}{f (n + 1) + f (n)} (n \in N^{*})$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2026} =$ （）

A、 $\sqrt{2026} + 1$ B、 $\sqrt{2026} - 1$ C、 $\sqrt{2027} + 1$ D、 $\sqrt{2027} - 1$

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5. 若关于 $x$ 的方程 $cos 2 x = m$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ 上恰有3个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} =$ （）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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6. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（）

A、0.15 B、0.2 C、0.25 D、0.3

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7. 如图所示，已知 $△ A B C$ ，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $B N$ 与 $C M$ 交于点 $P$ ， $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $\vec{A P} = t \vec{A D}$ ，则（）

A、 $\vec{A P} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ B、 $\vec{B P} = \frac{2}{5} \vec{B N}$ C、 $t = \frac{2}{5}$ D、 $\vec{C P} = \frac{2}{5} \vec{C A} + \frac{2}{5} \vec{C B}$

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8. 已知直线 $l$ 与焦点为 $F$ 的抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M F N = \frac{2 π}{3}$ ，线段 $M N$ 的中点 $A$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，则 $\frac{|M N|}{d}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8， $13$ ， $21$ 的第 $60$ 百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005}^{2} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过 $0.5 %$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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10. 设复数 $z$ 满足 $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $|z| \geq 2$ B、存在复数 $z$ ，使得 $z^{2}$ 为纯虚数 C、存在 $t \in R$ ，关于 $z$ 的方程 $z = t + 2 t \cdot i$ 有解 D、若复数 $w$ 满足 $|w - 1| = 1$ ，则 $|z - w|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$

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11. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 互不相等，且满足 $a + b + c = 4$ ， $a b + b c + a c = 3$ ， $a b c = - 1$ ，下列说法正确的有（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 10$ B、 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 25$ C、 $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 88$ D、对任意 $n \in N^{*}$ ， $a^{n} + b^{n} + c^{n}$ 均为整数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．

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13. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上运动，且 $A B ⊥ B C$ ，若点 $P$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，则 $|\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}|$ 的取值范围是．

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14. 已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $2 a_{n + 1} - a_{n} = 2 n + 3$ ．

(1)、令 $b_{n} = a_{n} - 2 n + 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = 3$ ， $b = 6$ ， $\sqrt{3} sin A + cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、点 $D$ 在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，且 $B D : D C = 1 : 2$ ，记 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的内切圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，求 $r_{1} + r_{2}$ 的值．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / /$ 平面 $P B C$ ， $P A = 1$ ， $A C = 2$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若点 $B$ 到平面 $A C P$ 的距离为1，求平面 $A C P$ 与平面 $B C P$ 夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $P (- 2, 0)$ ，直线 $l$ 过点 $Q (1, 0)$ （直线 $l$ 不与 $x$ 轴重合），交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点．直线 $P A$ 交椭圆于另一点 $C$ ，直线 $P B$ 交椭圆于另一点 $D$ ，连接 $C D$ 交 $x$ 轴于 $T$ ．
（ⅰ）求 $\frac{k_{A B}}{k_{C D}}$ 的值；
（ⅱ）求点 $T$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{\sqrt{x}} - \frac{1}{2} a x, a \in R$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $\sqrt{x_{1} x_{2}} - x_{2} < \sqrt{(e - a) (e - a - 4)}$ ．

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