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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{a (s i n x + c o s x)}{e^{x}} + x$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}})$ B、 $(- \infty, e^{π})$ C、 $(0, e^{π})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{π}{4}}, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ ，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数 $f (x)$ 的大致图象的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、已知函数 $f (x) = 2023 e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{2} \geq 2 x_{1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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4、已知函数 $f (x) = l n x - a s i n x$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{2 \sqrt{3}}{π}]$ B、 $(- \infty, \frac{4 \sqrt{3}}{π}]$ C、 $(- \infty, \frac{4 \sqrt{2}}{π}]$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{π}, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = x (1 - l n k x)$ ．

(1)、若曲线 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线与直线 $y = x$ 垂直，求 $k$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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6、已知函数 $f (x) = l n x + e x - \frac{e}{x}$ ，若 $f (\frac{1}{a^{2}}) + f (b) = 0$ ，则 $\frac{b^{2} + 1}{a^{2} + 1}$ 的最小值为.

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7、已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，则（）

A、当 $ω = \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、函数 $f (x)$ 图象的对称轴是 $x = \frac{π}{6 ω} + \frac{k π}{ω}, k \in Z$ C、当 $ω = \frac{1}{2}$ 时， $x = \frac{5 π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一个最大值点 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内不单调，则 $ω > \frac{5 π}{6}$

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8、已知函数 $f (x) = l n^{2} x - a x$ ．

(1)、 $a = - 2 e$ ，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围．

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9、已知函数 $f (x) = 2 (m x - l n x) + e$ .

(1)、若 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $l : 2 x + y + 1 = 0$ 垂直，求 $m$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性与极值.

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10、已知 $f (x) = 2 x^{2} - 3 x - l n x$ ，则 $f (x)$ 的单调增区间为．

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11、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，记 $A = f^{'} (x_{1})$ 、 $B = f^{'} (x_{2})$ 、 $C = f^{'} (x_{3})$ ，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 最大的是.

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12、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m l n x$ 在定义域内单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为．

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13、设函数 $f (x) = \frac{s i n 2 x - 2 s i n x}{c o s x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有且仅有1个零点 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上单调递减

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14、函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、3是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 3)$ 上单调递减 D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率小于零

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15、设函数 $f (x) = a^{x} - a l n x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[e, + \infty)$ B、 $[e^{2}, + \infty)$ C、 $[2 e, + \infty)$ D、 $[e^{e}, + \infty)$

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16、函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ （）

A、是偶函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递㺂 C、是奇函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上单调递增 D、既不是奇函数，也不是偶函数

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17、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a l n x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $x \in [1, + ∞)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

(2)、若 $a < - 2$ ，证明： $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列.

(3)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k (k + 1)}} > l n (n + 1)$ （ $n ∈ N^{∗}$ ）.

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18、已知 $f (x) = \frac{a e^{x} + e^{x}}{2}$ ， $g (x) = a (x - 2) e^{2 x} - (x + 2)$ ， $a \neq 0$ 则（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 B、当 $a = 1$ 时，存在直线 $y = t$ 与 $y = f (x)$ 有6个交点 C、当 $a \in [- \frac{1}{e^{2}}, 0)$ 时， $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上单调递减 D、当 $a < - 1$ 时， $g (x)$ 在 $(0, + ∞)$ 上有且仅有一个零点

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19、若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e}, e)$ B、 $[\frac{1}{e}, e]$ C、 $[\frac{1}{e}, + ∞)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a^{2}) - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 4 l n a + 2$ ．

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