上海市奉贤区2025-2026学年第二学期高三练习数学试卷

试卷更新日期：2026-04-02 类型：高考模拟

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一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.）

1. 已知集合 $A = \{3 a\}$ ， $B = \{9, a^{2}\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a =$ ．

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2. 不等式 $|x - 2| > 1$ 的解集为．

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3. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为．

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4. 若直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 与直线 $3 x - y = 0$ 平行，则实数a的值为．

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5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为．

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6. 已知函数 $y = \{\begin{array}{l} x (x - b), x \geq 0 \\ x (b x + 1), x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $b =$ ．

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7. 某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布 $N (65, {2.2}^{2})$ ，记作 $X \sim N (65, {2.2}^{2})$ ．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为．（结果精确到0.001）；
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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8. 点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $△ P O F$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|P F| =$ ．

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9. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件 $A :$ 至少抽到一名女生，事件 $B :$ 恰好抽到一名男生，则 $P (B | A) =$ ．

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10. 已知复数 $z = cos θ + isin θ$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ， i是虚数单位，则 $| z + 6 |^{2} + | z - 8 i |^{2}$ 的取值范围是．

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11. 如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 29.3 °$ ， $β = 38.2 °$ ， $γ = 25.1 °$ ．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得 $A D = 277$ 米， $B E = 49$ 米， $B C = 320$ 米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为米．（结果精确到1米）

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12. 在平面直角坐标系xOy中，点 $A (cos θ,sin θ)$ ， $B (- sin θ,cos θ)$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ．若点 $P (x, y)$ 满足： $\vec{O P} \cdot \vec{O A} = 1$ ， $\vec{O P} \cdot \vec{O B} = 2$ ，则xy的最大值是．

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二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

13. 已知 $a > b > 0 > c$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $\frac{b - c}{a - c} < \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2}{a} + b < \frac{2}{b} + a$

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14. 已知双曲线的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = λ$ ，则（）

A、渐近线与 $λ$ 无关 B、实轴长与 $λ$ 无关 C、焦距与 $λ$ 无关 D、焦点与 $λ$ 无关

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15. 音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受， $1807$ 年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如 $y = A \sin w x$ 的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图 $1, 2, 3$ 三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）

A、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 1500 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ B、 $f (t) = 0. 06 \sin 500 π t + 0. 02 \sin 2000 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ C、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 2000 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ D、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 2500 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = (x - 1) (x - a) (x - b)$ ， $x \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的零点的个数一定是3个 B、若集合 $A = \{x | f (x) \geq 0\}$ 的解集是 $[0, + \infty)$ ，则实数对 $(a, b)$ 有2对 C、函数 $y = f (x)$ 必存在极值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $(b, 0)$ 处的切线方程为 $y = 0$ ，则 $b = 1$

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三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = sin (π x + φ)$ ， $(- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ．

(1)、 $f (0) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{1}{2})$ ， $f (1)$ ， $f (2)$ 依次成等比数列，求 $φ$ 的值．

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18. 某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：
月份
产量 $x$ （千件）
单位成本 $y$ （元/件）
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68

(1)、计算产量与单位成本的相关系数（无需过程）；

(2)、建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：

(3)、若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？
附：相关系数 $r$ 的计算公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
回归系数计算公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} y_{i} - \hat{b} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}$

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A = P C = 5$ ， $P B = P D = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = 6$ ，点F为 $P D$ 的中点，点E为 $P B$ 上的点， $\vec{P E} = λ \vec{P B}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，平面 $A F E$ 与棱 $P C$ 交于点G．

(1)、求证：异面直线 $E F$ 与 $A C$ 垂直；

(2)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求 $A G$ 与底面 $A B C D$ 所成的线面角大小．

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20. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $M (0, - m)$ ， $m > 0$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $C$ ， $D$ 两点．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、若直线l与 $x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 相切，求当 $m = 2$ 时， $C D$ 的长；

(3)、若以 $C D$ 为直径的圆经过 $x$ 轴上方的定点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标．

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21. 设定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = e^{x} - a (a > 0)$ ，我们可以证明函数 $y = f (x)$ 存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点 $A_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ 作函数 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $B_{2}$ ，设横坐标为 $x_{2}$ ，若 $x_{2} > r$ ，则过点 $A_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ 作函数 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ 与x轴的交点为 $B_{3}$ ，设横坐标为 $x_{3}$ ；若 $x_{2} \leq r$ ，则停止作切线．…依次类推，得到数列 $\{x_{n}\} (n \geq 1, n \in N)$ ，记 $x_{1} = t$ ， $t > r$ ．

(1)、若 $a = e$ ， $t = 2$ ，求 $x_{2}$ ；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是严格递减数列；

(3)、若 $a = 1$ ，比较 $x_{n + 1} + 1$ 与 $x_{n} - ln x_{n}$ 的大小，并说明理由．

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月份	产量 $x$ （千件）	单位成本 $y$ （元/件）
1	2	73
2	3	72
3	4	71
4	3	73
5	4	69
6	5	68