广东佛山市南海区艺术高级中学2026届高三下学期综合测试数学试卷（艺高一模）

试卷更新日期：2026-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 3\}, B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ B、 $\{x |1 < x < 4\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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2. 复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (x, 2)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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4. ${(\frac{1}{x^{2}} + 2 x)}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、60 B、120 C、160 D、240

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5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d = 2$ ， $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、 $- 10$ D、 $- 8$

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6. 已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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8. 设函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x + l n x$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

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二、多选题

9. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为DB的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $C_{1} B D$ 于点M，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B C_{1}$ 与直线 $C D_{1}$ 所成角为 $60 °$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ C、M、O、 $C_{1}$ 三点共线 D、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的为 $\frac{π}{4}$

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10. 已知点 $A (3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ，点P在圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 上运动，则（）

A、直线AB与圆C相离 B、 $△ P A B$ 的面积的最小值为 $6 - 2 \sqrt{2}$ C、 $| P A |$ 的最大值为6 D、当 $∠ P B A$ 最小时， $| P B | = \sqrt{6}$

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11. 现进行如下试验：从 $1, 2, 3, \dots, 10$ 中任选一个数，记为 $a_{1}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{1} - 1$ 中任选一个数，记为 $a_{2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ，则试验结束；否则再从 $1, 2, \dots, a_{2} - 1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件 $A_{i} =$ “试验过程中，数字 $i$ 被选到”， $p_{i}$ 表示事件 $A_{i}$ 发生的概率（ $i = 1, 2, 3, \dots, 10$ ），则（）

A、 $p_{9} = \frac{1}{10}$ B、 $p_{8} = \frac{1}{10} + \frac{1}{9} p_{10} + \frac{1}{8} p_{9}$ C、 $P (A_{8} ∣ A_{9}) = P (A_{8} ∣ A_{10})$ D、 $P (A_{i} A_{j}) = p_{i} \cdot p_{j} (i, j \in \{1, 2, \dots, 10\}$ 且 $i \neq j)$

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三、填空题

12. 直线 $l : y = x + 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 相交所得的弦长为．

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13. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱与底面所成的角为 $45^{\circ}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ，则该四棱台的体积为．

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14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､ $5 \dots \dots$ 都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如 $(3, 5), (5, 7), (11, 13) \dots \dots$ 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=.

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四、解答题

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $b cos C + c cos B = 2 a cos C$ ， $sin C = \frac{\sqrt{6}}{2} sin B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ，且 $A F = \frac{1}{3} D E$ ．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ ，求 $D E$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ ．

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点．过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $x$ 轴的上方），直线 $A M, B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P, Q$ ，试判断 $\frac{|O P|}{|O Q|}$ 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

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