湖南汨罗市第一中学2025-2026学年高三下学期4月第二次模拟数学试卷

试卷更新日期：2026-04-18 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，全集 $U = R$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 1)$

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3. 已知正数 $a, b$ 满足 $a + 3 b = 2$ ，则 $\frac{b^{2} + 4 a}{a b}$ 的最小值为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{2}$ B、 $9$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{37}{3}$

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4. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 4$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, a_{n} \leq 0 \\ 2 a_{n}, a_{n} > 0 \end{array}, n \in N^{*}$ 则满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > 2018$ 的 $n$ 的最小值为（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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5. 幂函数 $f (x) = (m^{2} + 5 m - 5) x^{m^{2} - 3 m} (m \in Z)$ 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（）

A、﹣6 B、1 C、6 D、1或﹣6

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 2 a, x < 0 \\ x^{2} - 2 x, x \geq 0 \end{array}$ 有最小值，则a的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, 1)$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ D、 $(- \frac{1}{2}, 1]$

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A F_{1}|$ 、 $|A B|$ 、 $|B F_{1}|$ 成等差数列，则 $|A B|$ 等于（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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8. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + α)$ （ $ω > 0$ ）的一个零点为 $x_{1}$ ，一条对称轴为 $x = x_{2}$ ， $|x_{1} - x_{2}| = \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} +$ ${(y - 2 a)}^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 a y + a^{2} + 12 = 0, a \in R$ ．则下列选项正确的是（）

A、直线 $C_{1} C_{2}$ 恒过定点 $(3, 0)$ B、当圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 有三条公切线时，若P，Q分别是圆 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $| P Q |_{max} = 10$ C、若圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 共有2条公切线，则 $a < \frac{4}{3}$ D、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交弦的弦长为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ ， $g (x) = - {log}_{3} x$ ， $h (x) = 2 - x$ .则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 互为反函数 B、函数 $y = f (x) - g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内有零点 C、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且满足 $f (a) = g (b) = h (c)$ ，则 $b < 1 < c < a$ D、若函数 $h (x)$ 的图象与函数 $f (x)$ 的图象和函数 $g (x)$ 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + {log}_{3} x_{2} = 0$

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11. 对于定义在区间I上的函数 $f (x)$ ，若存在正数 $t$ ，使得不等式 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq t |x_{1} - x_{2}|$ 对任意不同的实数 $x_{1}, x_{2} \in I$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间I上是“ $t$ -理想函数”，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2}$ 是“2-理想函数” B、若函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 在 $[0, + \infty)$ 上是“ $t$ -理想函数”，则 $t$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、设 $f (x) = \sin x$ ，如果 $h (x) = k x + m (k > 1)$ 是“2025-理想函数”，且 $h (x)$ 的零点 $x_{0}$ 也是 $f (x)$ 的零点， $h (f (x_{0})) = f (h (x_{0}))$ ，则方程 $f (h (x)) = h (f (x))$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上有解 D、若函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上是“1-理想函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x)$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = \frac{3}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = 2 cos x - a ln x + e^{x}$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(π, f (π))$ 处的切线过坐标原点，则实数 $a$ 的值为．

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13. 计算： $\frac{\tan 25^{°} + \tan 20^{°} (1 + \tan 25^{°})}{{(\sin 15^{°} - \cos 15^{°})}^{2}} =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x + 1}{e^{x}} (a > 0)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \cdot cos A + \frac{\sqrt{3}}{3} a \cdot sin B = c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛事的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，战平的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，若进入点球大战则取胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每场比赛相互独立．

(1)、求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；

(2)、设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．

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17. 如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形， $F A = F C = 2 \sqrt{6}$ ，且 $∠ D A B = ∠ D B F = 60 °$ ．

(1)、求证：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求平面ABF与平面ACF的夹角的余弦值；

(3)、试问直线BC上是否存在点M，使直线 $A E / /$ 平面FDM，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - 2 x$ ．

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) < (e - 2) x + 2 e^{x} + a - 1$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0), B (1, 0), Q (- 4, 0)$ ，动点P满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值．

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