河北黄骅中学等十校2026届高三下学期一模数学试题

试卷更新日期：2026-04-12 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $U = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $M = \{x \in Z| x^{2} - 3 x < 0\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 3\}$

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2. 在平面直角坐标系中曲线 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的长度为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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3. 等比数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{3} = 1$ ， $b_{7} = 4$ ，则 $b_{5} =$ （）

A、2 B、 $\pm 2$ C、 $- 2$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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4. 已知复数 $z = cos \frac{π}{6} + isin \frac{π}{6}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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5. 已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos 2 x)$ ，接收端参考信号抽象为向量 $\vec{b} = (1, \sin x)$ ，定义信号匹配度函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，则函数 $y = |f (|x| - 1)|$ 的单调递增区间为（）

A、 $(1 - e, 0)$ ， $(e - 1, + \infty)$ B、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(1, 2)$ ， $(e + 1, + \infty)$ C、 $(- e - 1, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$ D、 $(- e - 1, - 2)$ ， $(- 2, - 1)$ ， $(e + 1, + \infty)$

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (- 1, 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线交抛物线于第一象限内的 $A$ ， $B$ 两点，若 $|B F| = 2 |A F|$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 周期为2，则（）

A、 $f (2 x) = f (2 x + 2)$ B、 $f (2 x) = f (- 2 x + 2)$ C、 $f (x) + f (2 - x) = 0$ D、 $f (x - 1) + f (x + 1) = 0$

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 2} \geq 2 a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 一定不是等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 一定不是递减数列 C、 $a_{2} \leq 3$ D、 $a_{4} \geq 7$

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11. 空间直角坐标系中，满足条件 $\{(x, y, z) |0 \leq x \leq y \leq z \leq 1\}$ 的点构成一几何体，则该几何体（）

A、为正多面体 B、体积为 $\frac{1}{6}$ C、外接球体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ D、内切球表面积为 $(3 - 2 \sqrt{2}) π$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知二项式 ${(x - a)}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为40，则实数 $a =$ ．

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13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2 \sqrt{3}}{x}$ 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是，焦距是．

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14. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 3 x^{2} + (a - 3) x e^{x} + 2 (3 - a) e^{2 x}$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(2 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (2 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (2 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a \sin (B - C) + b \sin (A - C) = c \sin C$ ．

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 3 c^{2}$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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16. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 A B = 4$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ，三棱锥 $C_{1} - B C D$ 的体积是四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 体积的 $\frac{1}{15}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 4$ ，求平面 $A_{1} C_{1} D$ 与平面 $B_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{\frac{1}{2 n - 1}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} > ln \sqrt{2 n + 1}$ ．

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18. 已知椭圆 $E$ 的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．直线 $O A$ ， $O B$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，且直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明： ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2}$ 为定值；

(2)、以椭圆 $E$ 上一动点 $M$ 为圆心作与直线 $O A$ ， $O B$ 均相切的圆，探究圆 $M$ 的面积是否为定值，若是定值，求出圆 $M$ 的面积，若不是定值，说明理由；

(3)、求四边形 $O A M B$ 面积的最大值．

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19. 单循环赛制是指所有参赛队伍（或选手）相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次．现有 $n$ （ $n \geq 2$ ）支球队进行单循环赛，规定每场比赛获胜队得1分，负的队得0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积分从高到低排列名次，积分最高者为冠军．并将第 $i$ 支球队的胜场数记为 $x_{i}$ ，负场数记为 $y_{i}$ ，（ $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ）．

(1)、当 $n = 6$ 时，求单循环赛的总比赛场数，并计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}$ 的值；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}$ ；

(3)、现 $n$ 支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多5支，甲，乙两组球队混合在一起进行单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是乙组中的球队，并说明理由．

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