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相关试卷

1、圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 4, C D = 5, A D = 6,$ 则 $\cos A =$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、 $\frac{1}{21}$

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2、已知 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的中线 $C D$ 长为3，若对 $\forall x \in [0, 1]$ ， $(x \overset{⃑}{C B} + (1 - x) \overset{⃑}{C A}) \cdot \overset{⃑}{C D} \geq 9$ 恒成立，则（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = A C$ C、 $∠ A C B = 90 °$ D、 $∠ A B C = 90 °$

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3、设平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 12$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, \sqrt{5})$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 18$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ B、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a}$ D、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{a}$

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4、下列四个命题正确的是（）

A、两个单位向量一定相等 B、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 不共线，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 都是非零向量 C、共线的单位向量必相等 D、两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos A = \frac{b}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、锐角三角形

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6、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、对于在区间 $[m, n]$ 上有意义的函数 $f (x)$ ，若满足对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [m, n]$ ，有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 1$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是“友好”的，否则就称 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是“不友好”的.现有函数 $f (x) = \log_{3} \frac{1 + a x}{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是否“友好”；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[m, m + 1] (1 \leq m \leq 2)$ 上是“友好”的，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、如图所示正四棱锥S-ABCD， $S A = S B = S C = S D = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， P为侧棱SD上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、正四棱锥S-ABCD的表面积；

(2)、侧棱SC上是否存在一点E，使得 $B E / /$ 平面PAC.若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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9、党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的 $L E D$ 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种 $L E D$ 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产 $x$ 万件该产品，需另投入变动成本 $W (x)$ 万元，在年产量不足6万件时， $W (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，在年产量不小于6万件时， $W (x) = 7 x + \frac{81}{x} - 37$ ．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式．（注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 变动成本）

(2)、年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in [0, \frac{π}{2}])$ 的部分图象如图所示，且 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上恰有一个最大值和一个最小值，则 $ω$ 的取值范围是.

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11、已知 $△ A B C$ 的顶点都是球 $O$ 的球面上的点， $A B = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，若三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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12、已知 $tan (α - \frac{π}{6}) = 2$ ， $tan (α + β) = - 3$ ，则 $tan (β + \frac{π}{6}) =$ .

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13、 $y = f (x)$ 定义域为 $R$ ， $y = f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2) = 1$ 且 $f (x) = g (2 x) - g (4 - 2 x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于（1，0）对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、4为 $y = f (x)$ 的周期 D、 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) = 0$

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14、在给出的下列命题中，正确的是（）

A、设 $O, A, B, C$ 是同一平面上的四个点，若 $\vec{O A} = m \cdot \vec{O B} + (1 - m) \cdot \vec{O C} (m \in R)$ ，则点 $A, B, C$ 必共线 B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面 $α$ 上的两个向量，则平面 $α$ 上的任一向量 $\vec{c}$ 都可以表示为 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (μ, λ \in R)$ ，且表示方法是唯一的 C、若 $A = 45 °$ ， $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 D、已知平面向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ， $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 |x| + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, - 2]$ 上是单调递增 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上是单调递增 C、当 $x = 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 有最大值 D、当 $x = - 2$ 或 $x = 2$ 时，函数 $y = f (x)$ 有最小值

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16、函数 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象为 $C$ ，则以下结论中正确的是（）

A、图象 $C$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、图象 $C$ 关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ 内是增函数 D、 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是偶函数

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17、已知 $\overset{⃑}{A B} ⊥ \overset{⃑}{A C}$ ， $| \overset{⃑}{A B} | = t$ ， $| \overset{⃑}{A C} | = \frac{1}{t}$ ．若点P是△ABC所在平面内一点，且 $\overset{⃑}{A P} = \frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} + \frac{2 \overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |}$ ，则 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最大值为（）

A、13 B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $5 - 2 \sqrt{6}$ D、 $10 + 2 \sqrt{2}$

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18、《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）

A、60.08斛 B、171.24斛 C、61.73斛 D、185.19斛

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19、对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} - 2 m x + 1 > 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 1)$

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20、设 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{0.3} 2$ ， $c = {0.3}^{0.3}$ ，则三者的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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