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相关试卷

1、将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标 $x_{i}$ 和区域内该植物分布的数量 $y_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，15），得到数组 $(x_{i}, y_{i})$ ．已知 $\sum_{i = 1}^{15} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 45$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 480$ ．

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2…，15）的相关系数；

(2)、假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的 $k \in N^{*}$ ，寿命为 $k + 1$ 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 $P (X = k)$ （ $k \in N^{*}$ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 $E (X)$ 的值．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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2、2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 $(495, 505]$ ， $(505, 515]$ ， …， $(535, 545]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值 $\bar{x}$ ；

(2)、由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, {1.25}^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为（1）中的样本平均值 $\bar{x}$ ，计算该批产品质量指标值 $ξ \geq 519.75$ 的概率；

(3)、从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若 $ξ \sim N (x, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq u + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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3、若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项之和记为 $a_{n}$ .

(1)、设第 $n$ 次构造后得的数列为 $1, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{λ}, 2$ ，则 $a_{n} = 3 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k}$ ，请用含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ 的代数式表达出 $a_{n + 1}$ ，并推导出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 满足的关系式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(3)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{3}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x + 1) e^{x}, x \leq 0 \\ \frac{ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f^{2} (x) - (a + 2) f (x) + 2 a$ ，若函数 $g (x)$ 恰有三个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 2} = (1 + {cos}^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + {sin}^{2} \frac{n π}{2}, n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ．前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ ．

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6、小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名 $\bar{y} = 6$ ，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程： $y = b_{1} x + a_{1}$ ， $y = b_{2} x + a_{2}$ ，对应的相关系数分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，排名y对应的方差分别为 $s_{1}^{2}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，则下列结论正确的是（）
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
（附： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

A、 $r_{1} < r_{2}$ B、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $b_{1} < b_{2}$ D、 $a_{1} < a_{2}$

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7、下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（）

A、若 $f (x) = ln 3$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{3}$ B、若 $f (x) = tan x$ ，则 $f^{'} (x) = 1 + {tan}^{2} x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率是 $ln 4$ D、 $f (x) = x^{3} + 1$ 过点 $(2, 5)$ 的切线方程是 $12 x - y - 19 = 0$

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8、“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（）

A、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{9}^{2} = 118$ B、第20行中，第11个数最大 C、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} a_{i} = 3^{n}$ D、第34行中，第15个数与第16个数的比为 $3 : 4$

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9、已知函数 $f (x) = 2^{λ x} - \ln x + (λ \ln 2 - 1) x$ ，若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e \ln 2}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[\ln 2, + \infty)$

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10、假设变量 $x$ 与变量 $Y$ 的 $n$ 对观测数据为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，两个变量满足一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ .要利用成对样本数据求参数 $b$ 的最小二乘估计 $\hat{b}$ ，即求使 $Q (b) = \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - b x_{i})}^{2}$ 取最小值时的 $b$ 的值，则（）

A、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ B、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}}$ C、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}}}$ D、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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11、已知 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 1}{4 n - 2} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}} =$ （）

A、 $\frac{27}{50}$ B、 $\frac{41}{78}$ C、 $\frac{43}{82}$ D、 $\frac{23}{42}$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1} = 2 a_{3}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{m} = 0$ ，则 $m$ 的值为（）

A、4 B、 $9$ C、6 D、5

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13、已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则 ${(x - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、 $- 80$ B、 $- 10$ C、10 D、80

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14、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a \cdot 2^{- x}}{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值；

(2)、若 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域是 $[\frac{k}{4^{m}}, \frac{k}{4^{n}}]$ （ $k \in R$ ），求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 2$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在R上的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 4$ ，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值．

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16、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 2 x - 1), a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 过定点 $(1, 2)$ ，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 值域为 $R$ ，求a的取值范围．

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17、某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 $C D = x, A D = y$ （单位： $cm$ ），该零部件的面积是 $4 \sqrt{3} {cm}^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出定义域；

(2)、设用到的圆形铁片的面积为 $S$ （单位： ${cm}^{2}$ ），求 $S$ 的最小值．

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18、已知集合 $A = \{x |- 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求集合 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、计算：

(1)、 $\lg 2 + \lg 5 - {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}} + {(π - 3)}^{0}$ ；

(2)、 $\sin (- \frac{23 π}{6}) + \cos (\frac{23 π}{7}) \cdot \tan 2024 π - \cos \frac{13 π}{3}$ ．

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20、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} - x_{1} + x_{4} - x_{2}$ 的取值范围为．

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