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相关试卷

1、下列命题是真命题的有（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < x$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} < x$ C、 $\exists x \in Q$ ， $x^{2} - 3 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + 3 a, x < 1 \\ x - \frac{1}{x}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，那么 $a$ 的取值可以是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 4$ ， $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A P ⊥ B D_{1}$ ，记 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{25}{9}$

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4、设函数 $f (x)$ 的定义域为D，对于区间 $I = [a, b] (a < b, I \subseteq D)$ ，若满足以下两条性质之一，则称I为 $f (x)$ 的一个“T区间”．
性质1：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \in I$ ；
性质2：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \notin I$ ．

(1)、分别判断区间 $[1, 2]$ 是否为下列两函数的“T区间”；
① $y = 3 - x$ ；
② $y = x + \frac{1}{2 x}$ ；

(2)、若 $[m, 0]$ 是函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的“T区间”，求m的取值范围；

(3)、已知定义在R上且图象连续不断的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < - 1$ ．求证： $f (x)$ 存在“T区间”，且 $\exists x_{0} \in R$ 使得 $x_{0}$ 不属于 $f (x)$ 的所有“T区间”．

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5、函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、解关于x的不等式： $f (m x^{2} - m x + x) - \frac{1}{3} < 0$

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4}), x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{4}]$ 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．

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7、已知集合 $A = \{x| 3 - a \leq x \leq 3 + a\}$ ， $B = \{x| x < 0$ 或 $x > 4\}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ 和 $A \cup B$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且 $A \cap (∁_{R} B) = A$ ，求实数a的取值范围．

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8、已知 $f (x) = e^{x} + \ln (x + 1), g (x) = x^{2} + m x$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, 1], \exists x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数m的最大值是．

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9、如图，在 $R t △ P B O$ 中， $∠ P B O = 90^{\circ}$ ，以 $O$ 为圆心、 $O B$ 为半径作圆弧交 $O P$ 于 $A$ 点．若圆弧 $A B$ 等分 $△ P O B$ 的面积，且 $∠ A O B = α$ 弧度，则 $\frac{α}{tan α}$ =.

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10、 ${(\frac{1}{4})}^{- 2} + e^{\ln 3} - {(\sqrt{3} - 1)}^{0} =$ ．

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11、若函数 $f (x) = 2^{x} \sin x - 1 (0 < x < \frac{π}{2})$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = 2^{x} \cos x - 1 (0 < x < \frac{π}{2})$ 的零点为 $x_{2}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} < \frac{π}{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} < \frac{3 π}{4}$ C、 $\sin x_{1} - \cos x_{2} > 0$ D、 $\cos x_{1} - \sin x_{2} < 0$

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12、以下命题正确的是（）

A、已知幂函数 $y = (m^{2} + m - 5) x^{m}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $m = 2$ B、若函数 $y = x^{2} - 2 a x + 1$ 在区间 $(2, 3)$ 内单调，则实数a的取值范围是 $[2, 3]$ C、若 $a x^{2} + 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x| b < x < 1\}$ ，则 $a = - 5$ D、若函数 $f (x) = x^{2}$ ，则对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 恒成立

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13、设函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ ．则 $f (\frac{11}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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14、已知角 $α$ 终边经过点 $P (- 3, 4)$ ，则 $\frac{\sin (2 π + α) + \sin (π - α)}{\cos (\frac{3 π}{2} + α) - \cos (π + α)} =$ （）

A、8 B、 $- 8$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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15、我们可以把 ${(1 + 1 %)}^{365}$ 看作每天的“进步”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${1.01}^{365}$ ，而把 ${(1 - 1 %)}^{365}$ 看作每天的“落后”率都是 $1 %$ ，一年后是 ${0.99}^{365}$ 若大约经过n天后“进步”的是“落后”的100倍，则 $n =$ （）（参考数据： $\lg 0.99 \approx - 0.004, \lg 1.01 \approx 0.004$ ）

A、231 B、243 C、250 D、266

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a x + a - 1, x < 0 \\ x^{2}, x \geq 0 \end{array}$ 在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, + \infty)$

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17、命题“ $\forall x > 0, x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0, x^{2} + x + 1 < 0$ B、 $\exists x > 0, x^{2} + x + 1 < 0$ C、 $\exists x \leq 0, x^{2} + x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} + x + 1 < 0$

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18、集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = \{x |x = 2 k, k \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0, 2}$ C、 $\{- 2, 0\}$ D、 ${- 2, 0, 2}$

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19、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $α$ 所截，截面为CDEF，且 $E F = D C$ ， $D C = 2 A D = 4 A_{1} E = 2$ ， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A D // B C$ ；

(2)、求直线DE与平面 $A A_{1} F$ 所成角的正弦值．

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20、在平面直角坐标系xOy中，圆C过 $A (1, 0)$ 和 $B (- 1, 2)$ ，且圆心在直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ 上；

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，过点 $P (3, - 4)$ 分别作圆C的两条切线 $P Q$ ， $P R$ （Q，R为切点），求直线 $Q R$ 的方程，并求弦长 $| Q R |$ .

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