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相关试卷

1、已知 $P (x_{0}, 6)$ 是抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，F是C的焦点，且 $|P F| = \frac{5}{4} x_{0}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、记O为坐标原点，斜率为1的直线 $l$ 与C交于A，B两点（异于点O），若 $O A ⊥ O B$ ，求 $△ A B F$ 的面积.

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2、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为直角梯形，其中 $C D // E B$ ， $E B = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ， $C B$ $⊥ B E$ ， $A E = A B = B C = 2$ ， $A D = \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、已知 $B E$ 上有一点 $M$ ，满足 $\vec{E M} = \frac{2}{5} \vec{E B}$ ，求此时平面 $A D M$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sin A - \sqrt{3} \sin C}{\sin B + \sin C} = \frac{b - c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $\cos A + \sin C = 1$ ，求 $\cos (A - \frac{π}{6})$ 的值.

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4、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积与以 $△ A B C$ 的外接圆为底面的圆柱的侧面积相等，则正三棱柱与圆柱的体积的比值为.

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5、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，若 $α - β = \frac{π}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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6、某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字 $1 \sim 6$ 的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4，则前进1步；若掷得数字大于4，则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进 $n$ 步的概率为 $p_{n}$ ，则（）

A、 $p_{2} = \frac{4}{9}$ B、 $p_{3} = \frac{20}{27}$ C、 $p_{n} = 3 p_{n + 2} - 2 p_{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $p_{2 n} > p_{2 m + 1} > p_{2 m - 1} (n, m \in N^{*})$

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7、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{m + 2} - \frac{y^{2}}{2 m - 1} = 1 (m \in R)$ ，下列说法正确的有（）

A、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $- \frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$ B、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $- 2 < m < \frac{1}{2}$ C、若曲线 $C$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m > \frac{1}{2}$ D、若曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $m < - 2$

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8、下列各式计算结果为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 \sin 30 ° \cos 30 °$ B、 $2 \cos^{2} 30 ° - 1$ C、 $\sin^{2} 75 ° - \cos^{2} 75 °$ D、 $\frac{\tan 20 ° + \tan 40 °}{2 (1 - \tan 20 ° \tan 40 °)}$

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9、设函数 $f (x) = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + a x$ .若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 和 $x = x_{0} + 1$ 的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知函数 $f (x) = sin 2 ω x, g (x) = cos (ω x - \frac{π}{4})$ ，且 $f (x + \frac{π}{8}), g (x + \frac{π}{8})$ 均为偶函数，则 $|ω|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知集合 $A = \{x | 2 x^{2} + 3 x - 2 < 0\}$ ， $B = \{x |\log_{\frac{1}{2}} (- x) + \frac{1}{2} x > - 2\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ，满足 $| \vec{n} | = 2$ 且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{n}$ ，若向量 $\vec{n}$ 与向量 $\vec{n} + \vec{m}$ 的夹角为 $60 °$ ，则向量 $| \vec{m} | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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13、已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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14、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 3 i) z = | - 3 i |$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $M$ ，若对于任意 $a, b, c \in M$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 能够成一个三角形的三条边长，则称函数 $y = f (x)$ 为集合 $M$ 上的“三角形函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 是区间 $[\frac{1}{2}, t]$ （ $t$ 为常数）上的“三角形函数”，求 $t$ 的取值范围；

(2)、已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 是区间 $[- \frac{π}{6}, θ]$ （ $θ$ 为常数）上的“三角形函数”，在函数 $f (x)$ 的图象上，是否存在三个不同的点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，当 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{3}) = \sqrt{3} f (x_{2})$ ，若存在，求 $\cos (x_{1} - x_{3})$ 的值；若不存在，说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = - 1 + \frac{2}{k \cdot 3^{x} + 1} (k \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时，若函数 $g (x) = m \cdot 3^{x} + (m + 1) f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 有2个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} (a - c \cos B) = c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ， $D$ 为边 $A C$ 上一点（不同于 $A$ ， $C$ 两点）， $A D = B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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18、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是边 $B C$ 边上中线， $E$ 为 $A D$ 中点，过点 $E$ 点直线交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A B} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = μ \vec{A N}$ ，（ $M$ ， $N$ 与点 $B$ ， $C$ 不重合）

(1)、证明： $λ + μ$ 为定值；

(2)、求 $\frac{1}{λ + 1} + \frac{1}{μ + 2}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ， $μ$ 的值.

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19、已知集合 $A = \{x | \frac{x + 2}{x - 6} \leq 0\}$ ， $B = \{x | 2^{x - 1} \geq 4\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若集合 $C = \{x | a - 1 < x \leq 3 - a\}$ ，且 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + 2 x) = f (1 - 2 x)$ ，且 $f (x + 1)$ 关于 $(- 1, 0)$ 对称，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{x} - a$ ，则 $\sum_{k = 1}^{100} k \cdot f (k) =$ .（注： $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + \dots + n$ ）

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