浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-25 类型：期中考试

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一、

1. “ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ B、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x \geq 3$ C、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$ D、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} + 2 x < 3$

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3. 已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{x - \frac{1}{2}}\}$ ， $B = \{y |y = {(\frac{1}{2})}^{x}, x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2}, 1)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(0, + \infty)$

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4. 函数 $y = f (x)$ 的图象如图，则 $y = |f (x - 2)|$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a = {1.1}^{0.1}$ ， $b = {0.9}^{- 0.1}$ ， $c = \log_{5} 4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x ， x \leq 1 \\ x + a ， x > 1 \end{cases}$ ，若 $f (2^{a}) = f (1 - a)$ ，则整数a的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、-1或0

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7. 若 $m, n$ 均为大于1的实数，且 $m n = 3 + m + n$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为（）

A、6 B、9 C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 4 \sqrt{2}$

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8. 已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a \in (0, 1)$ ，记 $f (x) = |x - [x + a]| + |x - [x - a]|$ ，且 $\forall x \in R$ ，有 $f (x) \leq M (a)$ 恒成立，则 $M (a)$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9. 已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，则下列不等关系中不一定成立的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a - b > b - c$ D、 $a + b > c$

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10. 存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in \{x |x \neq 0\}$ 都有（）

A、 $f (4^{x}) = x^{2} + 1$ B、 $f (x + \frac{1}{x}) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $f (x^{2}) = x + 1$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = \sqrt{|x + 1|}$

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11. 已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：
①对任意 $x, y \in (- 1, 1)$ 都有 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ；②当 $x > 0$ ， $f (x) > 0$ .
则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (\frac{1}{5}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) - f (\frac{1}{7}) = 1$ D、 $f (\frac{1}{11}) + f (\frac{1}{19}) + f (\frac{1}{29}) + f (\frac{1}{41}) < f (\frac{1}{3})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 集合 $\{1, 2, 3\}$ 的子集个数为．

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13. 若 $(2, 9)$ 在函数 $y = a^{|x|}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象上，则函数 $y = a^{|x|}$ 的单调递减区间是.

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14. 黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[0, 1]$ 上，其解析式为 $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q > 0) \\ 0 ， x = 0, 1 或 x 为 [0, 1] 上的无理数 \end{cases}$ .
若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 x) + f (2 - 3 x) = 0$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (\frac{k}{4}) =$ .

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四、答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 求值

(1)、 ${(3^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{\sqrt{2}}})}^{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 ${0.1}^{0} + 8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{81}{25})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{4})}^{- 1.5}$ .

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16. 已知集合 $A = \{x |\frac{2 x - 5}{x - 2} > 1\}$ ， $B = \{x |t x^{2} - (t + 2) x + 2 \leq 0\}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $∁_{R} A \subseteq B$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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17. 某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型 $W = a + b \cdot k^{x} (x > 0)$ 来描述订购手续费W与订购数量X的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示：
x（万件）
1
2
3
4
W
80
73
66.7
61.03

(1)、求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式；

(2)、考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据： $\lg 3 \approx 0.48$ ， $\lg 7 \approx 0.8$ ）

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18. 已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、已知正实数a，b满足 $f (2 a - 3) + f (\frac{1}{b}) = 0$ .
①求 $2 a + \frac{1}{b}$ 的值；
②若存在满足条件的a，b，使得 $\frac{1}{a} + 2 b \leq t$ 成立，求实数t的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = - \frac{t}{x} + \ln (e x)$ ， $g (x) = \frac{t x}{e} + \ln x$ .（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

(1)、若 $t = 0$ ，求不等式 $f (x) + g (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $t > 0$ ，且实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = 0$ ， $g (x_{2}) = 0$ ，
①证明： $\frac{1}{e} < x_{1} x_{2} < e$ ；
②若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $\ln (\frac{x_{1}}{x_{2}}) \geq 5 - 3 \ln 2$ ，求 $x_{1} x_{2}$ 的最小值.

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x（万件）	1	2	3	4
W	80	73	66.7	61.03