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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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2、某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面 $2 m$ ，当雨与地面成 $75^{\circ}$ 斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6} - 2$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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3、下列不等式成立的是（）

A、 $sin 1 > sin 2$ B、 $sin 1 > 1$ C、 $sin 1 > tan 1$ D、 $sin 1 > cos 1$

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4、函数 $f (x) = 6 tan (- \frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$ 的相邻两个零点之间的距离为（）

A、 $6 π$ B、6 C、 $12 π$ D、12

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5、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ，又以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} + S_{3} - S_{2} = 10 \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $\sin A \sin C = \frac{30}{49}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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7、如图，设 $△ A B C$ 中的角A，B，C所对的边是a，b，c， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，已知 $A B = 1$ ， $\overset{⃑}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⃑}{A C}$ ， $\frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，点E，F分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于点G，且 $△ A E F$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半．

(1)、求边 $B C$ 的长度；

(2)、当 $\overset{⃑}{A G} \cdot \overset{⃑}{E F} = \frac{45}{28}$ 时，求 $△ A G F$ 的面积．

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8、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且 $\frac{A E}{A B} = m$ ，点F为PD中点.
（1）若 $m = \frac{1}{2}$ ，证明：直线AF∥平面PEC；
（2）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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9、由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某个闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，该团队就能进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图，分别如图1、图2所示.

(1)、若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；

(2)、若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立，求该团队能进入下一关的概率.

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) + 2 \sin^{2} (\frac{ω x + φ}{2}) - 1 (ω > 0, 0 < φ < π)$ 为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ .
（1）当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；
（2）将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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11、如图，已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均相等， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $E$ 是棱AB的中点，设平面 $α$ ， $β$ 经过直线 $A_{1} E$ ，且 $α \cap$ 平面 $A_{1} A C C_{1} = l_{1}$ ， $β \cap$ 平面 $C_{1} C D D_{1} = l_{2}$ ，若 $α ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，则异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角的余弦值为.

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12、已知函数 $f (x) = \cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2} - 2 \sin x \cos x$ ，当 $x \in [0, π]$ 时，函数 $f (x)$ 的零点为.

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13、已知 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，设 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角为 $α$ ，则 $\cos α$ 的最小值为.

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14、如图，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，沿矩形对角线BD将 $△ B C D$ 折起形成四面体ABCD，在这个过程中，下列结论正确的是（）

A、在四面体ABCD中，当 $D A ⊥ B C$ 时， $B C ⊥ A C$ B、四面体ABCD的体积的最大值为 $\frac{24}{5}$ C、在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成的角可能为 $\frac{π}{3}$ D、四面体ABCD的外接球的半径为定值

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15、某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则下列结论正确的是（）

A、该选手闯过第一关的概率为 $\frac{8}{9}$ B、该选手单独闯过第二关的概率为 $\frac{15}{16}$ C、该选手能进入第三关的概率为 $\frac{15}{16}$ D、该选手能进入第三关的概率为 $\frac{5}{6}$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（）

A、若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，则 $C = \frac{π}{3}$ B、若 $△ A B C$ 是单位圆的内接三角形，则 $\frac{a}{\sin A} + \frac{b}{\sin B} + \frac{c}{\sin C} = 3$ C、若 ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ ，则 $A = \frac{π}{3}$ D、若 $a \cos B + a \cos C = b + c$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 1$ ，若 $\vec{A C} = 2 \vec{B D} - \vec{C B}$ ，则 $\vec{C D} \cdot \vec{C B}$ 等于（）

A、7 B、8 C、12 D、13

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18、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C = B D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B C D = 60 °$ .若 $A B = 3$ ， A，B，C，D四点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $36 π$ C、 $12 π$ D、 $24 π$

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19、已知 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O$ ，半径为1，点 $O$ 到近 $B C, C A, A B$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ .若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O B} \cdot \vec{O C} + \vec{O C} \cdot \vec{O A} = - 1$ ，则 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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20、某湖中有一小岛 $C$ ，沿湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 $A$ 处测得小岛在南偏西 $\frac{π}{12}$ 的方向上，汽车行驶2公里到达 $B$ 处后，又测得小岛在南偏西 $\frac{5 π}{12}$ 的方向上，如图所示，则小岛到公路的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 公里 B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ 公里 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 公里 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 公里

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