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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + b x + a - 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $0$ ，其中 $a, b \in R$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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2、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ 在区间 $(m, 6 - m^{2})$ 上有最小值，则实数 $m$ 的取值范围是.

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3、定义在 $R$ 上的两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，已知 $f (x) + g (1 - x) = 3$ ， $g (x) + f (x - 3) = 3$ .若 $y = g (x)$ 图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则 $f (0) =$ .

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4、函数 $f (x) = \log_{a} (2^{x} - 1)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）恒过的定点是．

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 6) = f (- 2 x)$ ，且 $f (x - 1) + f (x + 1) = f (- 2)$ ，若 $f (\frac{5}{2}) = 1$ ，则（）

A、 $f (2024) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 3$ 对称 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} {(- 1)}^{k} k f (k - \frac{1}{2}) = 2025$

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (a - \frac{1}{x + 1}) + b$ ，若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 对称，则 ${log}_{a} b =$ （）

A、-3 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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7、命题“ $\forall x \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} > x^{2}$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} \leq x^{2}$ B、 $\forall x \in R, \forall n \in N^{*}$ 使得， $n \leq x^{2}$ C、 $\exists x_{0} \in R, \exists n_{0} \in N^{*}$ ，使得 $n_{0} \leq x_{0}^{2}$ D、 $\exists x_{0} \in R, \forall n \in N^{*}$ ，使得 $n \leq x_{0}^{2}$

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8、已知集合 $\{x | 2 x - x^{2} \leq 0\}$ ， $B = ∁_{R} A$ ，其中 $R$ 是实数集，集合 $C = (- \infty, 1]$ ，则 $B \cap C =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, 1)$

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9、“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ 的点 $P$ 即为费马点．已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0, a = 2$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A C ⊥ B C, |P A| + |P B| = λ |P C|$ ，求实数 $λ$ 的值．

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10、如图，在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2, P A = \sqrt{13}$ ．

(1)、求棱锥的高和斜高；

(2)、求直线 $D E$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、若球 $O$ 是正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内切球，以底面正六边形 $A B C D E F$ 的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内接几何体，求该几何体的侧面积．

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b sin A = \sqrt{3} a, b^{2} = c (2 a + c)$ ．

(1)、求 $\frac{sin A}{sin C}$ 的值；

(2)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆上一点（ $B$ 与 $D$ 位于直线 $A C$ 异侧），且 $C D = 2 A D = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间；

(3)、若存在 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{5 π}{6}]$ ，使得 $f (x) \leq 3 a - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 4 i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若 $z$ 是方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a \in R, b \in R)$ 的一个根，求 $a + b$ 的值．

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14、已知四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{6}, A B ⊥ B C, D C ⊥ A C, ∠ C A D = 30^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，连接 $B D$ ，得到三棱锥 $B - A C D$ ，则三棱锥 $B - A C D$ 体积的最大值为，此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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15、在平行四边形ABCD中， AD = 1， $∠ B A D = 60^{°}$ ， E为CD的中点. 若 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{B E} = 1$ ，则AB的长为.

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16、已知 $\frac{cos 2 θ}{sin (θ - \frac{π}{4})} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos θ + sin θ =$ ．

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17、一个表面被涂满红色的棱长是4的正方体，将其均匀分割成棱长为1的小正方体，下列结论正确的是（）

A、共得到64个小正方体 B、由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为98 C、由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为 $12 π$ D、取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为 $\frac{3}{2}$

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18、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3})$ B、 $f (\frac{π}{2}) = \sqrt{3}$ C、 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $[- \frac{π}{4} + 3 k π, \frac{3 π}{4} + 3 k π] (k \in Z)$ D、把函数 $y = 2 \sin x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到 $f (x)$ 的图象

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围为 $(- \infty, \sqrt{3})$ D、若 $x = - \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$

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20、如图，已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1, |\vec{O C}| = \sqrt{3}, \vec{O C} ⊥ \vec{O B}, ∠ A O C = 30^{\circ}$ ，则（）

A、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ B、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} - \vec{O B}$ C、 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ D、 $\vec{O C} = \vec{O A} + 2 \vec{O B}$

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