浙江省象山中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2025-10-24 类型：月考试卷

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一、单选题（每题5分，共40分）

1. 若直线 $a x + y + c = 0$ 经过第一、二、四象限，则有（）

A、 $a > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $c < 0$ C、 $a < 0$ ， $c > 0$ D、 $a < 0$ ， $c < 0$

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2. 已知点 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (1, \sqrt{3})$ ，若向量 $\vec{A B}$ 是直线 $l$ 的方向向量，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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3. 已知直线 $l$ 过点 $(3, 5)$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 8 = 0$ B、 $y = \frac{5}{3} x$ C、 $y = \frac{5}{3} x$ 或 $x + y - 8 = 0$ D、 $y = \frac{5}{3} x$ 或 $x + y + 8 = 0$

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4. 若 $a \in R$ ，直线 $l_{1} : x + 2 a y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : (3 a - 1) x - a y - 1 = 0$ ，则“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的充分不必要条件是（）

A、 $a = 0$ B、 $a = - \frac{1}{6}$ C、 $a = 1$ D、 $a = \frac{1}{2}$

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5. 已知两圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1，C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁和圆C₂外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ (x≤－1)

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6. 经过两条直线 $2 x - 3 y + 10 = 0$ 与 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $x - 3 y + 7 = 0$ 的直线的方程为（）

A、 $3 x + y - 4 = 0$ B、 $3 x + y + 4 = 0$ C、 $3 x - y + 4 = 0$ D、 $3 x - y + 8 = 0$

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7. 中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4 $\sqrt{3}$ 的椭圆方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 已知直线 $3 x + 4 y + 4 = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 a x = 0 (a > 0)$ 相切，则圆 $M$ 和圆 $N : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内切

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二、多选题（每题6分，共18分）

9. 已知直线 $l : 3 x + y - 6 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 相交于 $A, B$ 两点，则（）

A、 $l$ 是圆 $C$ 的一条对称轴 B、圆 $C$ 的半径为 $\sqrt{5}$ C、圆心 $C$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{2}$

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10. 已知 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + k = 0$ 表示圆，则下列结论正确的是（）

A、圆心坐标为 $(- 2, 3)$ B、当 $k = 0$ 时，半径 $r = \sqrt{13}$ C、圆心到直线 $x + y - 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ D、当 $k = 4$ 时，圆面积为 $16 π$

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11. 如图所示，一个底面半径为 $\sqrt{2}$ 的圆柱被与其底面成 $45 °$ 角的平面所截，截面是一个椭圆，则（）

A、椭圆的长轴长为4 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、椭圆的方程可以为 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = 1$ D、椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. 已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ ，且与圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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13. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ 相交于两点A，B，则AB的直线方程为．

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14. 设 $k \in R$ ，若方程 $\frac{x^{2}}{4 - k} + \frac{y^{2}}{6 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $k$ 的取值围是．

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四、解答题（5题，共77分）

15. 已知 $A (1, 0)$ 、 $B (- 3, 3)$ 为直线 $l_{1}$ 上两点，直线 $l_{2} : (m + 1) x + (m - 1) y + 6 = 0$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $m$ 的值．

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16. 已知直线 $l : x - y + 4 = 0$ ，圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ .

(1)、若直线 $l$ 把圆 $C$ 分成面积相等的两部分，求实数 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, 2)$ ， $(\sqrt{6}, \sqrt{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = x - 2$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 是坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积 $S$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）已知直线 $y = k (x - 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
①若线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，求 $k$ 的值；
②在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $\overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{Q B}$ 为定值？若是，求点 $Q$ 的坐标；若不是，请说明理由.

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19. 已知圆 $O_{1}$ 过 $A (- 2 \sqrt{3}, 4)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (2 \sqrt{3}, 8)$ 三点．

(1)、求圆 $O_{1}$ 的方程；

(2)、求圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 13$ 的公共弦长；

(3)、已知 $M (0, - 1)$ ， P为圆 $O_{1}$ 上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得 $\frac{|P N|}{|P M|}$ 为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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